ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 491: система окружность и прямая

План решения:

• Выразим одну переменную из уравнения прямой через другую и параметр m.
• Подставим полученное выражение в уравнение окружности, чтобы получить квадратное уравнение относительно одной переменной.
• Проанализируем дискриминант этого квадратного уравнения. Количество решений системы зависит от знака дискриминанта: D=0 (одно решение), D>0 (два решения).

Вычисление:

Дана система уравнений: {nx²+y²=5x-y=m

Из второго уравнения выразим x: x=y+m.

Подставим это выражение в первое уравнение: (y+m)²+y²=5 Раскроем скобки: y²+2my+m²+y²=5 Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть: 2y²+2my+(m²-5)=0

Это квадратное уравнение относительно y. Найдем его дискриминант D: D=b²-4ac=(2m)²-4·2·(m²-5) D=4m²-8(m²-5) D=4m²-8m²+40 D=40-4m²

Анализ пунктов:

а) Система имеет одно решение.

Квадратное уравнение имеет единственный корень (или два совпадающих), если дискриминант равен нулю: D=0⇒40-4m²=0 4m²=40 m²=10 m=10 или  m=-10 При этих значениях прямая касается окружности, то есть система имеет ровно одно решение.

б) Система имеет два решения.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если дискриминант больше нуля: D>0⇒40-4m²>0 40>4m² 10>m² Неравенство m²<10 равносильно условию: -10<m<10 При этих значениях прямая пересекает окружность в двух точках.

Проверка:

Геометрически задача сводится к взаимному расположению прямой x-y-m=0 и окружности с центром (0;0) и радиусом R=5. Расстояние от центра окружности до прямой вычисляется по формуле: d=|Ax₀+By₀+C|/A²+B²=|1·0-1·0-m|/1²+(-1)²=|-m|/2=|m|/2 Одно решение (касание): d=R⇒|m|/2=5⇒|m|=10⇒m=±10. Два решения (пересечение): d<R⇒|m|/2<5⇒|m|<10⇒-10<m<10. Результаты алгебраического и геометрического методов совпадают.