ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 496: система уравнений
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решите систему уравнений
а) x+y+xy=5, xy+x-y=13
б) x+xy+y=10, xy-2x-2y=2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения систем уравнений с двумя переменными, содержащих произведения xy и суммы x+y, удобно использовать метод замены переменных. Введём новые переменные: пусть u=x+y и v=xy. Тогда исходные системы можно переписать в виде линейных или более простых систем относительно u и v.
а) Решим систему:
{x+y+xy=5xy+x-y=13Заметим, что во втором уравнении есть разность x-y, а не сумма. Поэтому прямая замена u=x+y не упрощает второе уравнение до вида только через u и v. Попробуем выразить одну переменную через другую из первого уравнения или преобразовать систему.
Из первого уравнения: x+y+xy=5. Прибавим к обеим частям единицу, чтобы разложить на множители:
x+y+xy+1=6⇒(x+1)(y+1)=6.Это полезное наблюдение, но давайте попробуем алгебраическое выражение. Из первого уравнения выразим y:
y(1+x)=5-x⇒y=5-x/1+x, x≠-1.Подставим это выражение во второе уравнение xy+x-y=13:
x·5-x/1+x+x-5-x/1+x=13.<p>Умножим всё на(1+x):</p>x(5-x)+x(1+x)-(5-x)=13(1+x).<p>Раскроем скобки:</p>5x - x^{2} + x + x^{2} - 5 + x = 13 + 13x.$<p>Сгруппируем подобные слагаемые слева:</p>(5x + x + x) + (-x^{2} + x^{2}) - 5 = 7x - 5.$<p>Получаем уравнение:</p>7x - 5 = 13 + 13x.$<p>Переносим неизвестные в одну сторону, числа в другую:</p>7x - 13x = 13 + 5,$$$$-6x=18,$$$$x = -3.$<p>Найдём $y$:</p>y = \frac{5 - (-3)}{1 + (-3)} = \frac{8}{-2} = -4.$<p>Проверка:</p><ul><li>Первое уравнение:$-3+(-4)+(-3)(-4)=-7+12=5$. Верно.</li><li>Второе уравнение:$(-3)(-4)+(-3)-(-4)=12-3+4=13$. Верно.</li></ul><p>Ответ для пункта а):$(-3;-4)$.</p><p><strong>б) Решим систему:</strong></p>\begin{cases} x + xy + y = 10 \\ xy - 2x - 2y = 2 \end{cases}<p>Здесь структура симметрична относительно $x$ и $y$ в первом уравнении ($x+y+xy=10$), но во втором есть коэффициенты при $x$ и $y$. Перепишем второе уравнение:</p>xy - 2(x+y) = 2.$<p>Обозначим $S=x+y$ и $P=xy$. Система примет вид:</p>\begin{cases} S + P = 10 \\ P - 2S = 2 \end{cases}<p>Выразим $P$ из первого уравнения:$P=10-S$. Подставим во второе:</p>(10 - S) - 2S = 2,$$$$10-3S=2,$$$$-3S = 2 - 10,$$$$-3S=-8,$$$$S = \frac{8}{3}.$<p>Тогда $P=10-8/3=30-8/3=22/3$.</p><p>Мы нашли сумму и произведение корней квадратного уравнения, корнями которого являются $x$ и $y$. Составим это уравнение по теореме Виета:</p>t^{2} - St + P = 0,$$$$t2-8/3t+22/3=0.<p>Умножим на 3 для удобства:</p>3t^{2} - 8t + 22 = 0.$<p>Проверим дискриминант этого квадратного уравнения:</p>D = b^{2} - 4ac = (-8)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 64 - 264 = -200.$$<p>Так как дискриминант отрицательный (D < 0), действительных корней уравнение не имеет. Следовательно, нет таких действительных чисел x и y $, которые удовлетворяли бы системе.Ответ для пункта б): решений нет.
а) (-3; -4)
б) решений нет
В пункте а) использован метод подстановки, так как замена u=x+y, v=xy не приводит к линейной системе из-за члена x-y. В пункте б) применена стандартная замена S=x+y, P=xy, приводящая к квадратному уравнению с отрицательным дискриминантом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 496 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 496?
Краткий ответ: а) (-3; -4) б) решений нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава IV. Уравнения и неравенства с двумя переменными.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.