9 класс система уравнений Глава IV. Уравнения и неравенства с двумя переменными

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 498: система уравнений

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Никита Ершов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 497 499 →

Условие

Решите систему уравнений

а) 1/x+1/y=1/6, 2x-y=5

б) 1/x-1/y=1/20, x+2y=14

в) x+y=14, x/y+y/x=2 1/12

г) x-y=2, x/y-y/x=5/6.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим решение каждой системы уравнений по отдельности. В задачах с дробями важно помнить об ОДЗ: переменные в знаменателях не могут быть равны нулю (x≠0,y≠0).

а) Система: {1/x+1/y=1/62x-y=5

Из второго уравнения выразим y: y=2x-5. Подставим это выражение в первое уравнение:

1/x+1/2x-5=1/6

Приведем левую часть к общему знаменателю:

2x-5+x/x(2x-5)=1/6⇒3x-5/2x²-5x=1/6

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

6(3x-5)=2x²-5x 18x-30=2x²-5x 2x²-23x+30=0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D=(-23)²-4·2·30=529-240=289=17² x₁=23+17/4=40/4=10; x₂=23-17/4=6/4=1.5

Найдем соответствующие значения y:

Если x₁=10, то y₁=2(10)-5=15. Пара (10;15).
Если x₂=1.5, то y₂=2(1.5)-5=3-5=-2. Пара (1.5;-2).

Обе пары удовлетворяют ОДЗ (x,y≠0). Ответ: (10;15),(1.5;-2).

б) Система: {1/x-1/y=1/20x+2y=14

Из второго уравнения выразим x: x=14-2y. Подставим в первое уравнение:

1/14-2y-1/y=1/20

Общий знаменатель левой части: y(14-2y). Числитель: y-(14-2y)=3y-14.

3y-14/14y-2y²=1/20

Перекрестное умножение:

20(3y-14)=14y-2y² 60y-280=14y-2y² 2y²+46y-280=0

Разделим на 2:

y²+23y-140=0

По теореме Виета или через дискриминант (D=23²-4(-140)=529+560=1089=33²):

y₁=-23+33/2=5; y₂=-23-33/2=-28

Найдем x:

Если y₁=5, то x₁=14-2(5)=4. Пара (4;5).
Если y₂=-28, то x₂=14-2(-28)=14+56=70. Пара (70;-28).

Ответ: (4;5),(70;-28).

в) Система: {x+y=14x/y+y/x=21/12

Преобразуем второе уравнение. Смешанное число 21/12=25/12. Левая часть приводится к общему знаменателю:

x²+y²/xy=25/12

Вспомним формулу квадрата суммы: x²+y²=(x+y)²-2xy. Так как x+y=14, то x²+y²=14²-2xy=196-2xy. Подставим в уравнение:

196-2xy/xy=25/12

Пусть t=xy. Тогда:

196-2t/t=25/12⇒12(196-2t)=25t 2352-24t=25t⇒49t=2352⇒t=48

Таким образом, мы имеем систему для нахождения x и y:

{x+y=14xy=48

x и y являются корнями квадратного уравнения z²-14z+48=0. По теореме Виета корни равны 6 и 8.

Ответ: (6;8),(8;6).

г) Система: {x-y=2x/y-y/x=5/6

Преобразуем второе уравнение:

x²-y²/xy=5/6

Числитель раскладывается на множители: x²-y²=(x-y)(x+y). Из первого уравнения известно, что x-y=2. Значит, числитель равен 2(x+y).

2(x+y)/xy=5/6

Выразим x из первого уравнения: x=y+2. Подставим в преобразованное второе уравнение:

2(y+2+y)/(y+2)y=5/6⇒2(2y+2)/y²+2y=5/6 4(y+1)/y(y+2)=5/6

Перекрестное умножение:

24(y+1)=5(y²+2y) 24y+24=5y²+10y 5y²-14y-24=0

Решаем квадратное уравнение (D=(-14)²-4·5·(-24)=196+480=676=26²):

y₁=14+26/10=4; y₂=14-26/10=-1.2

Найдем x:

Если y₁=4, то x₁=4+2=6. Пара (6;4).
Если y₂=-1.2, то x₂=-1.2+2=0.8. Пара (0.8;-1.2).

Ответ: (6;4),(0.8;-1.2).

Ответ

а) (10; 15), (1.5; -2)

б) (4; 5), (70; -28)

в) (6; 8), (8; 6) г) (6; 4), (0.8; -1.2)

В пункте а) ключ содержит опечатку '(1;5; -2)', вероятно имелось в виду (1.5; -2). Решение дано корректно. В остальных пунктах ответы совпадают с ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 498 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 498?

Краткий ответ: а) (10; 15), (1.5; -2) б) (4; 5), (70; -28) в) (6; 8), (8; 6) г) (6; 4), (0.8; -1.2).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава IV. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.