9 класс система окружность и прямая Глава IV. Уравнения и неравенства с двумя переменными

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 501: система окружность и прямая

Q: Это точный номер 501 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 501?

Краткий ответ: а) (-4; -3), (-4; 2), (3; -3), (3; 2) б) (3-3√2; 3+3√2), (3+3√2; 3-3√2), (2; 4), (4; 2) в) (2; 3), (3; 2) г) (-3; -2), (-1; -4), (4; 5), (6; 3).

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава IV. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 500 502 →

Условие

Решите систему уравнений

а) x²+y²+x+y=18, x²-y²+x-y=6

б) x^2y^2 + xy=72, x+y=6

в) (x+y)²-2(x+y)=15, x+xy+y=11

г) (x+y)²-4(x+y)=45, (x-y)²-2(x-y)=3.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим каждую систему уравнений по отдельности, используя методы замены переменных и разложения на множители.

а) Система: {x²+y²+x+y=18x²-y²+x-y=6

Сложим первое и второе уравнения:

(x²+y²+x+y)+(x²-y²+x-y)=18+6 2x²+2x=24impliesx²+x-12=0

Решим квадратное уравнение относительно x. По теореме Виета корни равны x₁=3 и x₂=-4.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

(x²+y²+x+y)-(x²-y²+x-y)=18-6 2y²+2y=12impliesy²+y-6=0

Корни этого уравнения: y₁=2 и y₂=-3.

Так как уравнения для x и y независимы друг от друга после сложения/вычитания, любая комбинация корней является решением. Получаем четыре пары (x;y):

x=3,y=2⇒(3;2)
x=3,y=-3⇒(3;-3)
x=-4,y=2⇒(-4;2)
x=-4,y=-3⇒(-4;-3)

б) Система: {x^2y²+xy=72x+y=6

Введем замену u=xy. Первое уравнение примет вид u²+u-72=0.

Найдем дискриминант или воспользуемся теоремой Виета: произведение корней -72, сумма -1. Корни: u₁=8, u₂=-9.

Случай 1: xy=8 при условии x+y=6.

Числа x и y являются корнями квадратного уравнения t²-6t+8=0. Дискриминант D=36-32=4. Корни: t_1,2=6±2/2, то есть 4 и 2. Пары решений: (4;2) и (2;4).

Случай 2: xy=-9 при условии x+y=6.

Уравнение для корней: t²-6t-9=0. Дискриминант D=36-4(-9)=36+36=72. Корни: t_1,2=6±72/2=6±62/2=3±32.

Пары решений: (3+32;3-32) и (3-32;3+32).

в) Система: {(x+y)²-2(x+y)=15x+xy+y=11

Обозначим S=x+y и P=xy.

Первое уравнение: S²-2S-15=0. Корни: S₁=5, S₂=-3.

Второе уравнение можно переписать как (x+y)+xy=11, то есть S+P=11, откуда P=11-S.

Случай 1: S=5. Тогда P=11-5=6.

Ищем x,y как корни уравнения t²-5t+6=0. Корни: 2 и 3. Решения: (2;3),(3;2).

Случай 2: S=-3. Тогда P=11-(-3)=14.

Ищем x,y как корни уравнения t²+3t+14=0. Дискриминант D=9-56<0. Действительных корней нет.

Ответ только из первого случая.

г) Система: {(x+y)²-4(x+y)=45(x-y)²-2(x-y)=3

Введем замены u=x+y и v=x-y.

Первое уравнение: u²-4u-45=0. Корни: u₁=9, u₂=-5.

Второе уравнение: v²-2v-3=0. Корни: v₁=3, v₂=-1.

Так как u и v определяются независимо, имеем 4 комбинации систем линейных уравнений:

{x+y=9x-y=3⇒2x=12,x=6,y=3⇒(6;3)
{x+y=9x-y=-1⇒2x=8,x=4,y=5⇒(4;5)
{x+y=-5x-y=3⇒2x=-2,x=-1,y=-4⇒(-1;-4)
{x+y=-5x-y=-1⇒2x=-6,x=-3,y=-2⇒(-3;-2)

Ответ

а) (-4; -3), (-4; 2), (3; -3), (3; 2)

б) (3-3\sqrt{2}; 3+3\sqrt{2}), (3+3\sqrt{2}; 3-3\sqrt{2}), (2; 4), (4; 2)

в) (2; 3), (3; 2)

г) (-3; -2), (-1; -4), (4; 5), (6; 3)

Для пункта а) использован метод алгебраического сложения и вычитания уравнений для разделения переменных. Для б) и в) применена замена переменных через сумму и произведение (теорема Виета). В пункте г) система сводится к двум независимым квадратным уравнениям относительно сумм и разностей переменных.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 501 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 501?

Краткий ответ: а) (-4; -3), (-4; 2), (3; -3), (3; 2) б) (3-3√2; 3+3√2), (3+3√2; 3-3√2), (2; 4), (4; 2) в) (2; 3), (3; 2) г) (-3; -2), (-1; -4), (4; 5), (6; 3).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава IV. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.