ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 503: система уравнений
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи обозначим искомые числа через x и y. По условию они положительные, то есть x>0 и y>0. Также из фразы «разность их квадратов равна 180» следует, что одно число больше другого. Пусть x>y, тогда разность чисел равна x-y, а разность квадратов — x2-y2.
Составим систему уравнений на основе условий задачи:
- «Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности»: x+y=5(x-y)
- «Разность их квадратов равна 180»: x2-y2=180
Преобразуем первое уравнение системы. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
x+y=5x-5y y+5y=5x-x 6y=4x Отсюда выразим x через y: x=6y/4=1,5yПодставим полученное выражение для x во второе уравнение системы (x2-y2=180):
(1,5y)2-y2=180 2,25y2-y2=180 1,25y2=180 y2=180/1,25 y2=144Так как по условию числа положительные, то y=144=12.
Теперь найдём x, подставив значение y в формулу x=1,5y:
x=1,5·12=18Проверка:
- Сумма чисел: 18+12=30. Разность чисел: 18-12=6. Действительно, сумма (30) в 5 раз больше разности (6), так как 30:6=5.
- Разность квадратов: 182-122=324-144=180. Условие выполнено.
18 и 12
Задача сводится к решению системы уравнений. Ключевой момент — правильно интерпретировать условие «в 5 раз больше разности», составляя линейное уравнение, и использовать его для подстановки в квадратичное уравнение (разность квадратов). Альтернативный способ: использовать формулу разности квадратов (x-y)(x+y)=180 и подставить туда x+y=5(x-y), получив 5(x-y)2=180, откуда (x-y)2=36, x-y=6. Далее система x-y=6 и x+y=30 решается сложением.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 503 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 503?
Краткий ответ: 18 и 12.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава IV. Уравнения и неравенства с двумя переменными.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.