ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 507: система уравнений

Обозначим искомую дробь как x/y, где x — числитель, а y — знаменатель. По условию задачи нам нужно составить систему уравнений на основе двух преобразований дроби.

1. Составление первого уравнения

Согласно первому условию: если числитель возвести в квадрат (x²), а знаменатель уменьшить на 1 (y-1), то получится дробь, равная 2. x²/y-1=2 Отсюда выразим связь между переменными: x²=2(y-1) ⇒ y-1=x²/2 ⇒ y=x²/2+1

2. Составление второго уравнения

Согласно второму условию: если числитель уменьшить на 1 (x-1), а знаменатель увеличить на 1 (y+1), то получится дробь, равная 1/4. x-1/y+1=1/4 Используем свойство пропорции (перекрёстное умножение): 4(x-1)=1(y+1) 4x-4=y+1 Выразим y через x из этого уравнения: y=4x-5

3. Решение системы уравнений

Приравняем два выражения для y, полученные выше: x²/2+1=4x-5 Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: x²+2=8x-10 Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные: x²-8x+12=0 Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант или воспользуемся теоремой Виета. По теореме Виета сумма корней равна 8, произведение равно 12. Корни: x₁=6 и x₂=2.

4. Нахождение соответствующих значений y

Подставим найденные значения x в формулу y=4x-5:

• Если x₁=6, то y₁=4(6)-5=24-5=19. Дробь: 6/19.
• Если x₂=2, то y₂=4(2)-5=8-5=3. Дробь: 2/3.

5. Проверка решений

Проверим первую пару (6;19): 1) Числитель в квадрате, знаменатель минус 1: 6²/19-1=36/18=2. Верно. 2) Числитель минус 1, знаменатель плюс 1: 6-1/19+1=5/20=1/4. Верно.

Проверим вторую пару (2;3): 1) Числитель в квадрате, знаменатель минус 1: 2²/3-1=4/2=2. Верно. 2) Числитель минус 1, знаменатель плюс 1: 2-1/3+1=1/4. Верно.

Таким образом, оба решения удовлетворяют условиям задачи.