ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 509: система уравнений
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Обозначим стороны прямоугольника через a и b. По условию диагональ равна 15 см, поэтому по теореме Пифагора имеем первое уравнение: a2+b2=152=225.
Первоначальный периметр равен P1=2(a+b). После уменьшения сторон на 6 см и 8 см новые стороны станут (a-6) и (b-8). Новый периметр P2=2((a-6)+(b-8))=2(a+b-14). По условию периметр уменьшился в 3 раза, то есть P1=3P2.
Подставим выражения для периметров в это соотношение: 2(a+b)=3·2(a+b-14). Сократим обе части на 2: a+b=3(a+b-14). Раскроем скобки и упростим: a+b=3a+3b-42⇒2a+2b=42⇒a+b=21.
Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) a+b=21, 2) a2+b2=225. Выразим b из первого уравнения: b=21-a. Подставим во второе: a2+(21-a)2=225. Раскроем квадрат суммы: a2+441-42a+a2=225. Приведем подобные слагаемые: 2a2-42a+216=0. Разделим все коэффициенты на 2: a2-21a+108=0.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна 21, а произведение — 108. Корни этого уравнения: a1=9 и a2=12. Если a=9, то b=21-9=12. Если a=12, то b=21-12=9. Таким образом, стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.
Проверка: Диагональ extd=92+122=81+144=225=15 см. Исходный периметр P1=2(9+12)=42 см. Новые стороны: 9-6=3 см и 12-8=4 см. Новый периметр P2=2(3+4)=14 см. Отношение 42/14=3, что соответствует условию задачи.
Стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.
Задача сводится к системе уравнений, где одно следует из теоремы Пифагора, а другое — из условия изменения периметра. Важно аккуратно составить уравнение для нового периметра, учитывая, что каждая сторона уменьшается на свою величину.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 509 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 509?
Краткий ответ: Стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.