9 класс уравнения Дополнительные упражнения к главе IV

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 513: уравнения

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Юлия Громова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 512 514 →

Условие

Из пунктов M и N выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них приехал в пункт N через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в пункт M через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами M и N равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи обозначим скорости автомобилей через v₁ и v₂. Пусть время от момента выезда до встречи равно t часов. Тогда расстояние, пройденное первым автомобилем до встречи, будет S₁=v₁t, а вторым — S₂=v₂t. Сумма этих расстояний равна общему пути между пунктами M и N: v₁t+v₂t=90

После встречи автомобили продолжают движение. Первый автомобиль проезжает оставшийся путь (который равен S₂) за 1 ч 15 мин, то есть за 5/4 часа. Второй автомобиль проезжает оставшийся путь (равный S₁) за 48 мин, то есть за 48/60=4/5 часа. Запишем эти соотношения:

S₂=v₁·5/4⇒v₂t=5/4v₁
S₁=v₂·4/5⇒v₁t=4/5v₂

Из первого уравнения выразим t: t=5v₁/4v₂. Подставим это выражение во второе уравнение:

v₁·5v₁/4v₂=4/5v₂

Умножим обе части на 20v₂, чтобы избавиться от знаменателей:

25v21=16v22

Извлекая квадратный корень, получаем соотношение скоростей:

5v₁=4v₂⇒v₁=0.8v₂

Теперь вернемся к первому уравнению задачи: (v₁+v₂)t=90. Нам нужно найти t. Из соотношения v₂t=5/4v₁ подставим v₁=0.8v₂:

v₂t=5/4(0.8v₂)=1.25·0.8v₂=v₂

Отсюда следует, что t=1 час. То есть встреча произошла через 1 час после выезда.

Подставим t=1 в уравнение суммы путей:

v₁·1+v₂·1=90⇒v₁+v₂=90

Имеем систему:

v₁+v₂=90
v₁=0.8v₂

Подставим второе в первое:

0.8v₂+v₂=90

1.8v₂=90

v₂=90/1.8=50 км/ч

Найдем v₁:

v₁=90-50=40 км/ч

Проверка:

Если v₁=40 км/ч и v₂=50 км/ч, то за 1 час (t=1) они проедут 40+50=90 км и встретятся.

Первый автомобиль после встречи должен проехать путь второго (50·1=50 км). Время: 50/40=1.25 ч = 1 ч 15 мин. Совпадает с условием.

Второй автомобиль после встречи должен проехать путь первого (40·1=40 км). Время: 40/50=0.8 ч = 0.8·60=48 мин. Совпадает с условием.

Ответ

Скорости автомобилей: 40 км/ч и 50 км/ч.

Задача решается через составление системы уравнений на основе времени движения до и после встречи. Ключевой момент — перевод минут в часы (1 ч 15 мин = 1.25 ч, 48 мин = 0.8 ч) и использование того факта, что путь, пройденный одним автомобилем до встречи, равен пути, пройденному другим после встречи.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 513 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 513?

Краткий ответ: Скорости автомобилей: 40 км/ч и 50 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.