ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 514: система уравнений
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов A и B. Первый вышел из пункта A на 6 ч позже, чем второй из пункта B, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в пункт B через 8 ч, а второй — в пункт A через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим скорости первого и второго туристов через v1 и v2 (км/ч).
- Выразим расстояния, пройденные каждым туристом до встречи и после встречи, используя время движения.
- Составим систему уравнений на основе условия задачи: разность пройденных путей до встречи равна 12 км, а также связь между полными путями и временами после встречи.
Ход вычислений:
Пусть t — время в часах, которое второй турист шёл до момента встречи. Тогда первый турист шёл до встречи t-6 часов (так как он вышел на 6 ч позже).
Расстояние, пройденное вторым до встречи: S2до =v2t. Расстояние, пройденное первым до встречи: S1до =v1(t-6).
По условию, при встрече первый прошёл на 12 км меньше второго: v2t-v1(t-6)=12 (1)
После встречи туристы продолжают движение. Первый дошёл до пункта B за 8 ч, значит расстояние от места встречи до B равно 8v1. Это же расстояние прошёл второй турист до встречи (S2до). Следовательно: v2t=8v1 (2)
Второй дошёл до пункта A за 9 ч, значит расстояние от места встречи до A равно 9v2. Это же расстояние прошёл первый турист до встречи (S1до). Следовательно: v1(t-6)=9v2 (3)
Из уравнения (2) выразим v2: v2=8v1/t. Подставим это выражение в уравнение (3): v1(t-6)=9·8v1/t Так как v1≠0, сократим обе части на v1: t-6=72/t Умножим на t: t2-6t=72 t2-6t-72=0 Решим квадратное уравнение. Дискриминант D=(-6)2-4·1·(-72)=36+288=324. t=6±324/2=6±18/2 Корни: t1=12, t2=-6. Время не может быть отрицательным, поэтому t=12 ч.
Теперь найдём соотношение скоростей из уравнения (2): v2·12=8v1⇒v2=8/12v1=2/3v1
Подставим найденные значения в уравнение (1): v2·12-v1(12-6)=12 12v2-6v1=12 Разделим на 6: 2v2-v1=2 Заменим v2 на 2/3v1: 2·(2/3v1)-v1=2 4/3v1-v1=2 1/3v1=2⇒v1=6 км/ч
Найдём скорость второго туриста: v2=2/3·6=4 км/ч
Проверка:
Время движения второго до встречи t=12 ч. Путь второго до встречи: 4·12=48 км. Время движения первого до встречи: 12-6=6 ч. Путь первого до встречи: 6·6=36 км. Разность путей: 48-36=12 км. Условие выполнено. Путь первого после встречи (до B): 8·6=48 км. Совпадает с путём второго до встречи. Путь второго после встречи (до A): 9·4=36 км. Совпадает с путём первого до встречи. Ответ верен.
а) Скорость первого туриста: 6 км/ч
б) Скорость второго туриста: 4 км/ч
Задача решается составлением системы уравнений, связывающих скорости и время движения до и после встречи. Ключевой момент — понимание того, что путь одного туриста до встречи равен пути другого туриста после встречи.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 514 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 514?
Краткий ответ: а) Скорость первого туриста: 6 км/ч б) Скорость второго туриста: 4 км/ч.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.