9 класс система уравнений Дополнительные упражнения к главе IV

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 512: система уравнений

Q: Это точный номер 512 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 512?

Краткий ответ: а) Скорость первого поезда: 40 км/ч б) Скорость второго поезда: 50 км/ч.

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 511 513 →

Условие

Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть v₁ — скорость первого поезда (км/ч), а v₂ — скорость второго поезда (км/ч).

План решения:

Используем факт встречи поездов через 3 часа при общем расстоянии 270 км, чтобы найти сумму их скоростей.
Переведем разницу во времени прохождения всего пути из часов и минут в часы.
Составим уравнение для разницы времен на весь путь и решим полученную систему.

Вычисление:

Так как поезда встретились через 3 часа, пройдя вместе 270 км, то сумма их скоростей равна:

v₁+v₂=270/3=90

Разница во времени на весь путь составляет 1 ч 21 мин. Переведем это значение в часы:

1 ч 21 мин =1+21/60=1+7/20=1,35 ч

Время, которое тратит первый поезд на весь путь, равно t₁=270/v₁, а второй — t₂=270/v₂. По условию один поезд тратит больше времени, значит, он движется медленнее. Предположим, что v₁<v₂, тогда t₁>t₂. Составим уравнение:

270/v₁-270/v₂=1,35

Из первого уравнения выразим v₂: v₂=90-v₁. Подставим это выражение во второе уравнение:

270/v₁-270/90-v₁=1,35

Умножим обе части уравнения на v₁(90-v₁), чтобы избавиться от знаменателей (при условии v₁≠0 и v₁≠90):

270(90-v₁)-270v₁=1,35v₁(90-v₁) 24300-270v₁-270v₁=1,35(90v₁-v21) 24300-540v₁=121,5v₁-1,35v21

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения (ax²+bx+c=0):

1,35v21-121,5v₁-540v₁+24300=0 1,35v21-661,5v₁+24300=0

Для удобства умножим все коэффициенты на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем сократим на 135 (так как 66150/135=490 и 2430000/135=18000):

135v21-66150v₁+2430000=0 v21-490v₁+18000=0

Найдем дискриминант:

D=(-490)²-4·1·18000=240100-72000=168100 D=168100=410

Корни уравнения:

v_1,2=490±410/2 v₁′=490+410/2=900/2=450 (не подходит, так как v₁<90) v₁′′=490-410/2=80/2=40

Если v₁=40 км/ч, то v₂=90-40=50 км/ч.

Проверка:

Сумма скоростей: 40+50=90 км/ч. За 3 часа пройдут 90·3=270 км. Верно.
Время первого поезда: 270/40=6,75 ч.
Время второго поезда: 270/50=5,4 ч.
Разница во времени: 6,75-5,4=1,35 ч. Это соответствует 1 ч 21 мин (0,35·60=21). Верно.

Ответ

а) Скорость первого поезда: 40 км/ч

б) Скорость второго поезда: 50 км/ч

Задача сводится к системе уравнений: сумма скоростей известна из условия встречи, а разница во времени на весь путь дает второе уравнение. Важно аккуратно перевести минуты в часы (21 мин = 0,35 ч). При решении квадратного уравнения один корень отсекается по физическому смыслу.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 512 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 512?

Краткий ответ: а) Скорость первого поезда: 40 км/ч б) Скорость второго поезда: 50 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.