ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 508: система уравнений
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 3/4. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2. Найдите эту дробь.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим искомую дробь как x/y, где x — числитель, а y — знаменатель.
- Составим систему уравнений на основе двух условий задачи.
- Решим полученную систему методом подстановки или выражения одной переменной через другую.
- Проверим найденные значения, подставив их в исходные условия.
Вычисление:
1. Запишем первое условие: «Если числитель увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 3/4».
x+7/y2=3/42. Запишем второе условие: «Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2».
x/y+6=1/23. Из второго уравнения выразим x через y. Умножим обе части на 2(y+6):
2x=y+6impliesx=y+6/24. Подставим это выражение для x в первое уравнение:
y+6/2+7/y2=3/4Упростим числитель левой части:
y+6/2+7=y+6+14/2=y+20/2Теперь уравнение выглядит так:
y+20/2/y2=3/4impliesy+20/2y2=3/45. Решим пропорцию (перекрёстное умножение):
4(y+20)=3(2y2) 4y+80=6y2Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
6y2-4y-80=0Разделим обе части на 2 для упрощения:
3y2-2y-40=0Найдём дискриминант:
D=(-2)2-4·3·(-40)=4+480=484 D=484=22Корни уравнения:
y1=2+22/6=24/6=4 y2=2-22/6=-20/6=-10/3Так как y является знаменателем обыкновенной дроби в контексте школьной алгебры (обычно подразумеваются натуральные числа или целые, но при проверке второго корня нужно быть внимательным), рассмотрим оба случая. Однако чаще всего в таких задачах речь идёт о положительных целых числах. Проверим y=4.
Если y=4, то найдём x:
x=4+6/2=10/2=5Итак, возможная дробь: 5/4.
Проверим второй корень y=-10/3: x=-10/3+6/2=-10+18/3/2=8/3/2=4/3. Дробь 4/3/-10/3=-4/10=-2/5. Подставим в первое условие: -2/5+7/(-10/3)2=33/5/100/9=33/5·9/100=297/500≠3/4. Значит, этот корень не подходит (или требует более сложной интерпретации, которая противоречит первому условию при стандартном прочтении). Оставляем положительное решение.
Проверка:
Искомая дробь 5/4 (x=5,y=4).
- Числитель увеличим на 7: 5+7=12. Знаменатель возведём в квадрат: 42=16. Получаем дробь 12/16. Сократим на 4: 3/4. Условие выполнено.
- Числитель оставляем без изменения: 5. Знаменатель увеличиваем на 6: 4+6=10. Получаем дробь 5/10. Сократим на 5: 1/2. Условие выполнено.
5/4
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 508 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 508?
Краткий ответ: 54.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.