ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 490: система уравнений

План решения:

Чтобы определить количество решений системы уравнений, нужно найти точки пересечения окружности x²+y²=r² и параболы y=-x²+4. Для этого выразим x² из уравнения параболы и подставим его в уравнение окружности. Полученное квадратное уравнение относительно y покажет возможные ординаты точек пересечения. Затем проанализируем допустимость найденных значений y с учётом того, что x²≥0, и определим количество соответствующих абсцисс x для каждого случая.

Вычисление:

1. Из уравнения параболы y=-x²+4 выразим x²: x²=4-y Так как x²≥0, то должно выполняться условие 4-y≥0, откуда следует ограничение на y: y≤4.

2. Подставим выражение для x² в уравнение окружности x²+y²=r²: (4-y)+y²=r² Перепишем это как квадратное уравнение относительно y: y²-y+(4-r²)=0

3. Найдём дискриминант этого уравнения: D=(-1)²-4·1·(4-r²)=1-16+4r²=4r²-15

Количество корней зависит от знака дискриминанта и расположения корней относительно области определения (y≤4).

Случай 1: D<0 Если 4r²-15<0, то есть r²<15/4 или 0<r<15/2, то уравнение не имеет действительных корней по y. Значит, система не имеет решений ( 0 решений ).

Случай 2: D=0 Если r=15/2, то корень один: y₀=-(-1)/2=1/2. Проверим условие y≤4: 1/2≤4 — верно. Найдём x: x²=4-1/2=7/2>0, значит x=±7/2. Итого две точки пересечения ( 2 решения ).

Случай 3: D>0 Это происходит при r>15/2. Уравнение имеет два различных корня: y_1,2=1±4r²-15/2 Оба корня должны удовлетворять условию y≤4 и давать x²=4-y≥0. Заметим, что сумма корней равна 1, а произведение равно 4-r². Рассмотрим поведение функции f(y)=y²-y+4-r². Вершина параболы находится в точке y_v=0.5. Так как ветви направлены вверх, корни симметричны относительно 0.5. Максимально возможное значение y в системе ограничено сверху числом 4 (так как x²=4-y≥0). Подставим y=4 в исходное уравнение связи радиуса и координат: При y=4, x=0. Тогда r²=0²+4²=16, то есть r=4. Давайте разберем интервалы для r>15/2: * Если 15/2<r<4: Дискриминант положителен. Корни y_1,y₂ различны. Проверим, меньше ли оба корня 4. Так как вершина y=0.5, а значение функции в точке y=4 равно f(4)=16-4+4-r²=16-r². Если r<4, то 16-r²>0. Это означает, что точка y=4 лежит "выше" оси абсцисс графика f(y), и так как ветви вверх, оба корня лежат левее 4 (или правее, но нам важно, что они внутри диапазона). Более точно: если f(4)>0 и вершина 0.5<4, то либо оба корня <4, либо оба >4. Но сумма корней 1, значит они не могут быть оба больше 4. Следовательно, оба корня y_1,y₂<4. Также нужно проверить, что y_i≤4 обеспечивает x²≥0. Да, так как y<4, то 4-y>0, значит x принимает два значения bigpm4-y для каждого корня y. Итого: 2 корня по y, каждый дает 2 корня по x. Всего 4 решения .

* Если r=4: f(4)=0, значит один из корней равен y=4. Второй корень найдем через сумму: y₁+y₂=1⇒4+y₂=1⇒y₂=-3. Оба корня удовлетворяют условию y≤4. Для y₁=4: x²=4-4=0⇒x=0 (1 решение). Для y₂=-3: x²=4-(-3)=7⇒x=±7 (2 решения). Всего 3 решения .

* Если r>4: f(4)=16-r²<0. Так как значение функции в точке 4 отрицательно, а ветви направлены вверх, то один корень меньше 4, а другой больше 4. Пусть y₁<4<y₂. Корень y₂ не подходит, так как при y>4 получаем x²=4-y<0, что невозможно для действительных чисел. Корень y₁ подходит (y₁<4), при этом x²=4-y₁>0, давая два значения x. Всего 2 решения .

Проверка и итог:

Соберем результаты по интервалам изменения параметра r (r>0):