ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 488: система уравнений

Решение систем уравнений графическим методом заключается в построении графиков каждого уравнения системы на одной координатной плоскости. Координаты точек пересечения этих графиков являются решениями системы.

а) Система: {y+x+x²=0x-y=10

• Первое уравнение преобразуем к виду y=-x²-x. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке x_v=--1/2(-1)=-0.5, y_v=-(-0.5)²-(-0.5)=-0.25+0.5=0.25. Точки пересечения с осью Ox: -x(x+1)=0⇒x=0,x=-1.
• Второе уравнение y=x-10 — это прямая с угловым коэффициентом 1 и точкой пересечения с осью Oy в (0;-10).
• Найдем точки пересечения аналитически для проверки: подставим y=x-10 в первое уравнение: (x-10)+x+x²=0 x²+2x-10=0 Дискриминант D=4-4(1)(-10)=44. Корни x_1,2=-2±44/2=-1±11. x₁≈-1+3.32=2.32, y₁=2.32-10=-7.68. x₂≈-1-3.32=-4.32, y₂=-4.32-10=-14.32. Графики пересекаются в двух точках.

б) Система: {(x-2)²+y²=9y=x²-4x+4

• Первое уравнение описывает окружность с центром в точке (2;0) и радиусом R=9=3.
• Второе уравнение можно переписать как y=(x-2)². Это парабола с ветвями вверх, вершина которой совпадает с центром окружности (2;0).
• Подставим выражение для y из второго уравнения в первое: (x-2)²+((x-2)²)²=9 Обозначим t=(x-2)², где t≥0. Получаем квадратное уравнение относительно t: t+t²=9⇒t²+t-9=0 Корни: t=-1±1+36/2=-1±37/2. Так как t≥0, берем только положительный корень: t=-1+37/2≈-1+6.08/2≈2.54. Тогда (x-2)²=2.54⇒x-2=±2.54≈±1.59. x₁≈3.59, x₂≈0.41. Соответствующие значения y=t≈2.54. Ответ: две точки пересечения (2+-1+37/2;-1+37/2) и (2--1+37/2;-1+37/2).

в) Система: {x²+y²=25y=2x²-14

• Первое уравнение — окружность с центром (0;0) и радиусом R=5.
• Второе уравнение — парабола с ветвями вверх, вершина (0;-14).
• Выразим x² из второго уравнения: 2x²=y+14⇒x²=y+14/2. Подставим в первое уравнение: y+14/2+y²=25 Умножим на 2: y+14+2y²=50 2y²+y-36=0 Дискриминант D=1-4(2)(-36)=1+288=289=17². Корни: y_1,2=-1±17/4. y₁=16/4=4. y₂=-18/4=-4.5. Проверим допустимость значений y для нахождения x: При y=4: x²=4+14/2=9⇒x=±3. Точки: (3;4),(-3;4). При y=-4.5: x²=-4.5+14/2=9.5/2=4.75⇒x=±4.75≈±2.18. Точки: (4.75;-4.5),(-4.75;-4.5). Все четыре пары удовлетворяют исходным уравнениям (x²+y²=25). Например, для y=-4.5,x²=4.75: 4.75+(-4.5)²=4.75+20.25=25. Верно. Ответ: 4 точки пересечения.

г) Система: {x²+y²=10xy=3

• Первое уравнение — окружность с центром (0;0) и радиусом R=10≈3.16.
• Второе уравнение — гипербола, расположенная в I и III четвертях (так как произведение положительно).
• Из второго уравнения y=3/x. Подставим в первое: x²+(3/x)²=10 x²+9/x²=10 Пусть z=x², тогда z+9/z=10⇒z²-10z+9=0. Корни: z₁=1,z₂=9. Если x²=1, то x=±1. При x=1,y=3; при x=-1,y=-3. Точки: (1;3),(-1;-3). Если x²=9, то x=±3. При x=3,y=1; при x=-3,y=-1. Точки: (3;1),(-3;-1). Ответ: 4 точки пересечения.

д) Система: {x+y=8(x+1)²+y²=81

• Первое уравнение — прямая y=8-x.
• Второе уравнение — окружность с центром (-1;0) и радиусом R=9.
• Подставим y=8-x во второе уравнение: (x+1)²+(8-x)²=81 x²+2x+1+64-16x+x²=81 2x²-14x+65=81 2x²-14x-16=0 Разделим на 2: x²-7x-8=0 По теореме Виета или дискриминанту: D=49+32=81. x_1,2=7±9/2. x₁=16/2=8. Тогда y₁=8-8=0. Точка (8;0). x₂=-2/2=-1. Тогда y₂=8-(-1)=9. Точка (-1;9). Ответ: 2 точки пересечения.

е) Система: {y=-x²+4y=|x|

• Первое уравнение — парабола с ветвями вниз, вершина (0;4), нули функции x=±2.
• Второе уравнение — модульная функция, график которой состоит из двух лучей: y=x при x≥0 и y=-x при x<0.
• Рассмотрим случай x≥0: y=x. Подставим в первое уравнение: x=-x²+4⇒x²+x-4=0 D=1+16=17. x=-1±17/2. Так как x≥0, берем x₁=-1+17/2≈-1+4.12/2≈1.56. y₁=x₁≈1.56. Точка (-1+17/2;-1+17/2).
• Рассмотрим случай x<0: y=-x. Подставим в первое уравнение: -x=-x²+4⇒x²-x-4=0 D=1+16=17. x=1±17/2. Так как x<0, берем x₂=1-17/2≈1-4.12/2≈-1.56. y₂=-x₂=-1+17/2≈1.56. Точка (1-17/2;-1+17/2).
• Ответ: 2 точки пересечения.