ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 482: система уравнений
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что уравнения имеют единственное решение
а) x2+y2+2x+1=0
б) x2-2x+y2+4y+5=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что уравнение имеет единственное решение, нужно преобразовать его левую часть так, чтобы получить сумму квадратов выражений. Если сумма неотрицательных величин равна нулю, то каждая из них должна быть равна нулю одновременно. Это даст нам систему линейных уравнений с единственным решением.
Решение пункта а)
Дано уравнение: x2+y2+2x+1=0
Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x, и выделим полный квадрат:
- Выражение x2+2x+1 является полным квадратом суммы (x+1)2.
- Переменная y входит в уравнение только как y2.
Перепишем уравнение в виде:
(x+1)2+y2=0Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (a2≥0), то сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждый из слагаемых равен нулю:
{x+1=0y=0Отсюда находим единственную пару значений:
x=-1, y=0Следовательно, уравнение имеет единственное решение (-1;0).
Решение пункта б)
Дано уравнение: x2-2x+y2+4y+5=0
Сгруппируем слагаемые по переменным x и y и дополним до полных квадратов:
- Для x: x2-2x. Чтобы получить полный квадрат (x-1)2=x2-2x+1, нужно добавить 1.
- Для y: y2+4y. Чтобы получить полный квадрат (y+2)2=y2+4y+4, нужно добавить 4.
- В свободном члене у нас есть 5, что как раз равно сумме добавленных единиц (1+4=5).
Перепишем уравнение:
(x2-2x+1)+(y2+4y+4)=0 (x-1)2+(y+2)2=0Аналогично пункту а), сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:
{x-1=0y+2=0Находим значения переменных:
x=1, y=-2Уравнение имеет единственное решение (1;-2).
Проверка:
Подставим найденные корни в исходные уравнения.
а) (-1)2+02+2(-1)+1=1+0-2+1=0. Верно.
б) 12-2(1)+(-2)2+4(-2)+5=1-2+4-8+5=(1+4+5)-(2+8)=10-10=0. Верно.
а) Единственное решение: (-1;0).
б) Единственное решение: (1;-2).
Метод выделения полного квадрата позволяет свести квадратное уравнение от двух переменных к системе линейных уравнений через свойство неотрицательности квадратов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 482 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 482?
Краткий ответ: а) Единственное решение: (-1; 0). б) Единственное решение: (1; -2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 7.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.