ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 5: Действительные числа

Для решения задачи вспомним иерархию числовых множеств. Каждое следующее множество включает в себя предыдущее: N⊂Z⊂Q⊂R.

• N — натуральные числа (1,2,3,…).
• Z — целые числа (натуральные, нуль и отрицательные целые).
• Q — рациональные числа (можно представить в виде дроби m/n, где m∈Z,n∈N; включают конечные и периодические десятичные дроби).
• R — действительные числа (все рациональные и иррациональные числа).

а) Число 6

Число 6 является натуральным (6∈N). Поскольку любое натуральное число является целым, то 6∈Z. Любое целое число можно записать как дробь со знаменателем 1 (6/1), значит, оно рациональное (6∈Q). Все рациональные числа являются действительными (6∈R).

Ответ: относится ко всем перечисленным множествам: N,Z,Q,R.

б) Число -1,98

Это отрицательное число, поэтому оно не может быть натуральным (-1,98∉N) и не является целым (-1,98∉Z), так как имеет дробную часть. Однако это конечная десятичная дробь. Конечную дробь всегда можно перевести в обыкновенную: -1,98=-198/100. Так как числитель и знаменатель — целые числа, данное число является рациональным (-1,98∈Q). Следовательно, оно также принадлежит множеству действительных чисел (-1,98∈R).

Ответ: относится к множествам Q и R.

в) Число 0,5(87)

Запись 0,5(87) означает бесконечную периодическую десятичную дробь, где цифра 5 стоит до периода, а цифры 87 повторяются бесконечно: 0,5878787…. По определению, все бесконечные периодические десятичные дроби являются рациональными числами. Их можно преобразовать в обыкновенную дробь. Значит, 0,5(87)∈Q. Как и любое рациональное число, оно входит в множество действительных чисел (0,5(87)∈R). Оно не является ни натуральным, ни целым.

Ответ: относится к множествам Q и R.

г) Число π

Число π (пи) — это отношение длины окружности к её диаметру. Это классический пример иррационального числа. Иррациональные числа нельзя представить в виде обыкновенной дроби m/n с целыми m и n, их десятичная запись бесконечна и непериодична. Поэтому π∉Q (и, соответственно, π∉N,π∉Z). Но иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел. Следовательно, π∈R.

Ответ: относится только к множеству R.