ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 521: К параграфу 8
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства того, что неравенство |x|+|y|≤1 задаёт квадрат с вершинами в точках (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1) (как правило, именно эта фигура изображена на рисунке 66), необходимо рассмотреть поведение модулей в каждой из четырёх координатных четвертей.
План решения:
- Разбить плоскость на четыре случая в зависимости от знаков x и y.
- В каждом случае раскрыть модули и получить линейное неравенство.
- Определить геометрический смысл полученного множества точек для каждого случая.
- Объединить результаты и сделать вывод о форме всей фигуры.
Вычисление по четвертям:
| Четверть / Область | Условия на знаки | Раскрытие модулей | Неравенство | Геометрическая интерпретация |
|---|---|---|---|---|
| I четверть | x≥0,y≥0 | |x|=x,|y|=y | x+y≤1 | Треугольник с вершинами (0;0),(1;0),(0;1) |
| II четверть | x<0,y≥0 | |x|=-x,|y|=y | -x+y≤1⇒y-x≤1 | Треугольник с вершинами (0;0),(-1;0),(0;1) |
| III четверть | x<0,y<0 | |x|=-x,|y|=-y | -x-y≤1⇒x+y≥-1 | Треугольник с вершинами (0;0),(-1;0),(0;-1) |
| IV четверть | x≥0,y<0 | |x|=x,|y|=-y | x-y≤1 | Треугольник с вершинами (0;0),(1;0),(0;-1) |
Рассмотрим подробнее границы. В первой четверти границей является прямая x+y=1. Она отсекает от осей координат треугольник. Аналогично во второй четверти граница y-x=1 (или x-y=-1) соединяет точки (-1;0) и (0;1). В третьей четверти неравенство x+y≥-1 ограничивает область снизу слева прямой, проходящей через (-1;0) и (0;-1). В четвёртой четверти граница x-y=1 проходит через (1;0) и (0;-1).
Проверка и объединение:
Если мы объединим все четыре полученных треугольника, то увидим, что они образуют выпуклый многоугольник. Вершины этого многоугольника лежат на осях координат: (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1). Стороны многоугольника — это отрезки прямых, полученные при раскрытии модулей.
Диагонали этого четырехугольника равны расстоянию между противоположными вершинами: d1=(1-(-1))2+(0-0)2=2 и d2=(0-0)2+(1-(-1))2=2. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делятся пополам в начале координат. Это свойства квадрата.
Таким образом, множество точек, удовлетворяющих условию |x|+|y|≤1, представляет собой квадрат со сторонами, параллельными биссектрисам координатных углов, и центром в начале координат. Данная фигура соответствует изображению на рисунке 66.
Множество точек, заданное неравенством |x|+|y|≤1, является квадратом с вершинами в точках (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1).
Задача требует аналитического обоснования графической иллюстрации. Ключевой момент — разбиение на случаи по знакам переменных внутри модулей. Важно показать, что в каждой четверти получается часть квадрата (треугольник), а их объединение даёт целостную фигуру.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 521 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 521?
Краткий ответ: Множество точек, заданное неравенством |x| + |y| 1, является квадратом с вершинами в точках (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: К параграфу 8.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.