ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 532: Арифметическая прогрессия

Для решения задачи необходимо найти все натуральные значения n, при которых член последовательности a_n принимает отрицательное значение. Формула задана как a_n=n²-n-20. Условие отрицательности записывается неравенством:

n²-n-20<0

Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения n²-n-20=0. По теореме Виета сумма корней равна 1, а произведение равно -20. Корнями являются числа 5 и -4. Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

(n-5)(n+4)<0

Решением этого неравенства является промежуток -4<n<5. Поскольку n — номер члена последовательности, он должен быть натуральным числом (n∈N). Из промежутка (-4;5) нам подходят только натуральные числа: 1,2,3,4. Это означает, что отрицательными будут первые четыре члена последовательности.

Вычислим значения этих членов, подставляя найденные номера в исходную формулу:

• Для n=1: a₁=1²-1-20=1-1-20=-20;
• Для n=2: a₂=2²-2-20=4-2-20=-18;
• Для n=3: a₃=3²-3-20=9-3-20=-14;
• Для n=4: a₄=4²-4-20=16-4-20=-8.

Проверим следующий член, чтобы убедиться, что дальше отрицательных значений нет. Для n=5: a₅=5²-5-20=25-25=0. Число 0 не является отрицательным, а для всех n>5 выражение n²-n-20 будет положительным, так как парабола ветвями вверх и после корня 5 уходит в область положительных значений.