ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 554: Арифметическая прогрессия

План решения:

• В пункте 1 запишем формулы общего члена арифметической прогрессии для чисел 20 и 35, выразим номера n и m через разность d и найдем отношение (n-1)/(m-1).
• В пункте 2 используем полученное отношение, чтобы представить n-1 и m-1 через натуральное число k, выразим n и m и обсудим существование прогрессий при k>1.
• В пункте 3 проверим случай k=1 и покажем противоречие с условием задачи (d≠1).

Решение пункта 1:

Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом a₁=12 и разностью d. По условию, числа 20 и 35 являются её членами. Пусть a_n=20 и a_m=35, где n и m — натуральные номера этих членов.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: a_k=a₁+(k-1)d.

Для члена 20: 20=12+(n-1)dimplies(n-1)d=8impliesn-1=8/d.

Для члена 35: 35=12+(m-1)dimplies(m-1)d=23impliesm-1=23/d.

Найдем отношение (n-1) к (m-1):

n-1/m-1=8/d/23/d=8/d·d/23=8/23.

Таким образом, мы доказали, что n-1/m-1=8/23.

Решение пункта 2:

Из равенства дробей n-1/m-1=8/23 следует, что существуют такие натуральные числа n-1 и m-1, которые пропорциональны 8 и 23. Поскольку НОД(8, 23) = 1 (числа взаимно просты), то можно записать:

n-1=8k, m-1=23k,

где k — натуральное число (k∈N).

Выразим номера членов n и m через k:

n=8k+1, m=23k+1.

Теперь обсудим, как получить подходящую прогрессию при k>1. Подставим выражение для n-1 в формулу из пункта 1:

(n-1)d=8implies8k·d=8impliesd=8/8k=1/k.

Если выбрать любое натуральное k>1, например k=2, то получим разность d=1/2. Тогда:

• a₁=12;
• d=0.5;
• n=8(2)+1=17, a₁₇=12+16·0.5=12+8=20;
• m=23(2)+1=47, a₄₇=12+46·0.5=12+23=35.

При любом k>1 разность d=1/k будет отличаться от 1, и числа 20 и 35 будут членами прогрессии с номерами 8k+1 и 23k+1 соответственно.

Решение пункта 3:

Рассмотрим случай k=1. Тогда:

n-1=8·1=8impliesn=9,

m-1=23·1=23impliesm=24.

Разность прогрессии вычисляется по формуле:

d=1/k=1/1=1.

Однако в условии задачи сказано, что разность прогрессии не равна 1 . Следовательно, значение k=1 приводит к прогрессии с d=1, которая не удовлетворяет условиям задачи. Поэтому такой вариант исключается.

Проверка:

Мы показали, что при k=1 получается d=1, что запрещено. При k=2 получается d=0.5, что допустимо. Отношение номеров корректно выведено из свойств арифметической прогрессии. Логика исследования соблюдена.