ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 561: Арифметическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Артём Савельев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что если числа a, b, c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a2+ab+b2, a2+ac+c2 и b2+bc+c2 также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо проверить выполнение основного свойства: среднее число должно быть равно полусумме крайних. То есть, если обозначим новые члены как x=a2+ab+b2, y=a2+ac+c2 и z=b2+bc+c2, то нужно показать, что выполняется равенство 2y=x+z.
Вычисление:
Так как a,b,c — последовательные члены арифметической прогрессии, то по определению разности прогрессии справедливо равенство:
b-a=c-bimplies2b=a+cЭто ключевое соотношение мы будем использовать для упрощения выражений.
Запишем условие проверки для новых чисел:
2(a2+ac+c2)?=(a2+ab+b2)+(b2+bc+c2)Раскроем скобки в правой части и сгруппируем подобные слагаемые:
Правая часть =a2+ab+b2+b2+bc+c2=a2+2b2+c2+ab+bcРаскроем скобки в левой части:
Левая часть =2a2+2ac+2c2Теперь подставим вместо 2b сумму (a+c) в выражение 2b2. Заметим, что 2b2=b·2b=b(a+c)=ab+bc. Это очень удобное преобразование. Давайте проверим это подробнее:
Из условия 2b=a+c следует, что b=a+c/2.
Подставим это значение b в правую часть исходного уравнения:
x+z=a2+a(a+c/2)+(a+c/2)2+(a+c/2)2+(a+c/2)c+c2Упростим выражение, вынеся общий знаменатель или раскрывая квадраты:
x+z=a2+a2+ac/2+2·(a+c)2/4+ac+c2/2+c2 x+z=a2+a2+ac/2+a2+2ac+c2/2+ac+c2/2+c2Приведем все к общему знаменателю 2:
x+z=2a2+(a2+ac)+(a2+2ac+c2)+(ac+c2)+2c2/2 x+z=2a2+a2+ac+a2+2ac+c2+ac+c2+2c2/2Сложим подобные слагаемые в числителе:
- a2: 2+1+1=4a2
- ac: 1+2+1=4ac
- c2: 1+1+2=4c2
Получаем:
x+z=4a2+4ac+4c2/2=2a2+2ac+2c2Сравниваем с левой частью (2y):
2y=2(a2+ac+c2)=2a2+2ac+2c2Видим, что левая и правая части равны:
2y=x+zПроверка и вывод:
Мы доказали, что удвоенное второе число из новой тройки равно сумме первого и третьего чисел. Это является необходимым и достаточным условием того, что данные числа образуют арифметическую прогрессию.
Таким образом, утверждение верно.
Доказано: так как 2b=a+c, то сумма крайних членов новой прогрессии равна удвоенному среднему члену.
Для доказательства использовано свойство среднего арифметического. Ключевой момент — замена b через (a+c)/2 или использование соотношения 2b2=b(a+c)=ab+bc при группировке слагаемых.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 561 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 561?
Краткий ответ: Доказано: так как 2b=a+c, то сумма крайних членов новой прогрессии равна удвоенному среднему члену.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Арифметическая прогрессия.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.