ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 562: Арифметическая прогрессия

План решения:

• Используем определение арифметической прогрессии для чисел a²,b²,c², чтобы записать основное соотношение между ними.
• Для того чтобы доказать, что числа 1/b+c,1/a+c,1/a+b образуют арифметическую прогрессию, необходимо проверить выполнение условия: удвоенный средний член равен сумме крайних членов. То есть нужно доказать равенство: 2/a+c=1/b+c+1/a+b
• Преобразуем правую часть этого равенства к общему знаменателю и сравним с левой частью, используя полученное на первом шаге соотношение.

Вычисление:

Так как a²,b²,c² — последовательные члены арифметической прогрессии, то разность между соседними членами постоянна. Следовательно, выполняется условие:

b²-a²=c²-b² 2b²=a²+c² (·)

Рассмотрим сумму крайних членов предполагаемой новой прогрессии:

S=1/b+c+1/a+b

Приведем дроби к общему знаменателю (b+c)(a+b):

S=(a+b)+(b+c)/(b+c)(a+b)=a+2b+c/ab+b²+ac+bc

Теперь посмотрим на удвоенный средний член:

M=2/a+c

Чтобы доказать, что S=M, проверим, верно ли равенство:

a+2b+c/ab+b²+ac+bc=2/a+c

Умножим крест-накрест (при условии, что знаменатели не равны нулю):

(a+2b+c)(a+c)=2(ab+b²+ac+bc)

Раскроем скобки в левой части:

a(a+c)+2b(a+c)+c(a+c)=a²+ac+2ab+2bc+ac+c² =a²+2ac+c²+2ab+2bc

Раскроем скобки в правой части:

2ab+2b²+2ac+2bc

Сравним полученные выражения. Нам нужно убедиться, что:

a²+2ac+c²+2ab+2bc=2ab+2b²+2ac+2bc

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые 2ab,2ac,2bc:

a²+c²=2b²

Это равенство (a²+c²=2b²) является точным следствием исходного условия (·). Таким образом, равенство верное.

Проверка:

Мы показали, что сумма крайних членов 1/b+c+1/a+b равна удвоенному среднему члену 2/a+c при условии, что a²,b²,c² образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разности между соседними членами равны:

1/a+c-1/b+c=1/a+b-1/a+c Следовательно, данные числа действительно являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Доказательство завершено.