9 класс Арифметическая прогрессия § 9. Арифметическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 574: Арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 573 575 →

Условие

Найдите значение выражения

а) сумма четных чисел от 2 до 2n (2 + 4 + ... + 2n)

б) сумма нечетных чисел от 1 до 2n-1 (1 + 3 + ... + (2n - 1)).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В этой задаче нам нужно найти суммы двух арифметических прогрессий. Вспомним формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: S_n=a₁+a_n/2·n где a₁ — первый член, a_n — последний член, а n — количество членов.

а) Сумма четных чисел от 2 до 2n

Рассмотрим последовательность: 2,4,6,…,2n. Это арифметическая прогрессия с первым членом a₁=2 и последним членом a_k=2n. Чтобы применить формулу, нужно определить количество членов в этой сумме. Общий член такой прогрессии задается формулой a_k=2k. Приравнивая его к последнему члену, получаем 2k=2n, откуда k=n. Значит, всего в сумме n членов.

Подставим данные в формулу суммы:

S_n=2+2n/2·n=2(1+n)/2·n=(1+n)·n=n(n+1)

б) Сумма нечетных чисел от 1 до 2n-1

Рассмотрим последовательность: 1,3,5,…,2n-1. Это также арифметическая прогрессия с первым членом a₁=1 и последним членом a_m=2n-1. Определим количество членов m. Общий член нечетных чисел имеет вид a_m=2m-1. Приравняем его к последнему члену: 2m-1=2n-1. Отсюда 2m=2n, значит, m=n. Количество членов равно n.

Применим формулу суммы:

S_n=1+(2n-1)/2·n=2n/2·n=n·n=n²

Ответ

а) n(n+1)

б) n²

Задача сводится к прямому применению формулы суммы арифметической прогрессии. Ключевой момент для учеников — правильно определить количество членов (n) в каждой из сумм, так как индексы в условии уже связаны с количеством элементов. Для пункта а) это очевидно (2,4...2n), для пункта б) требует небольшого алгебраического преобразования (2m-1=2n-1⇒m=n). Ответы совпадают с ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 574 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 574?

Краткий ответ: а) n(n+1) б) n^2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Арифметическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.