9 класс Арифметическая прогрессия § 9. Арифметическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 575: Арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 574 576 →

Условие

Вычислите сумму

а) всех натуральных чисел до 150 включительно

б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно

в) всех натуральных чисел кратных 4 и не превышающих 300

г) всех натуральных чисел кратных 7 и не превышающих 130.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения всех четырёх пунктов воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии. Если мы знаем первый член a₁, последний член a_n и количество членов n, то сумма вычисляется как:

S_n=a₁+a_n/2·n

Количество членов можно найти, если известно, что это последовательность с постоянным шагом (разностью) d. Формула для номера последнего члена: a_n=a₁+d(n-1), откуда n=a_n-a₁/d+1.

а) Сумма всех натуральных чисел до 150 включительно

Здесь у нас арифметическая прогрессия: 1,2,3,…,150. Первый член a₁=1, последний член a₁₅₀=150, разность d=1. Количество членов n=150.

Вычислим сумму:

S₁₅₀=1+150/2·150=151/2·150=151·75

Умножаем: 151·75=11325.

б) Сумма всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно

Прогрессия: 20,21,22,…,120. a₁=20, a_n=120, d=1. Найдём количество членов n:

n=120-20/1+1=100+1=101

Теперь найдём сумму:

S₁₀₁=20+120/2·101=140/2·101=70·101

Умножаем: 70·101=7070.

в) Сумма всех натуральных чисел кратных 4 и не превышающих 300

Числа кратные 4 образуют прогрессию: 4,8,12,…,a_n. a₁=4, d=4. Последнее число должно быть кратно 4 и не превышать 300. Проверим делимость 300 на 4: 300:4=75. Значит, 300 входит в последовательность, и a_n=300. Найдём количество членов n:

n=300-4/4+1=296/4+1=74+1=75

Или проще: так как числа идут подряд через шаг 4, их количество равно 300/4=75. Вычислим сумму:

S₇₅=4+300/2·75=304/2·75=152·75

Умножаем: 152·75=11400.

г) Сумма всех натуральных чисел кратных 7 и не превышающих 130

Прогрессия: 7,14,21,…,a_n. a₁=7, d=7. Найдём наибольшее число, кратное 7 и не превышающее 130. Разделим 130 на 7: 130:7=18 (остаток 4). Значит, последнее число a_n=7·18=126. Количество членов n=18. Вычислим сумму:

S₁₈=7+126/2·18=133/2·18=133·9

Умножаем: 133·9=1197.

Ответ

а) 11325

б) 7070

в) 11400

г) 1197

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 575 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 575?

Краткий ответ: а) 11325 б) 7070 в) 11400 г) 1197.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Арифметическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.