9 класс Арифметическая прогрессия § 9. Арифметическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 582: Арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 581 583 →

Условие

Шары уложены треугольником: в 1-м ряду 1 шар, во 2-м — 2, в 3-м — 3 и т.д. Сколько рядов нужно, чтобы разместить 120 шаров? Сколько всего шаров потребуется для треугольника из 30 рядов?

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим задачу как сумму членов арифметической прогрессии. Количество шаров в каждом ряду образует последовательность: 1,2,3,…. Это арифметическая прогрессия с первым членом a₁=1 и разностью d=1.

План решения:

Использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: S_n=n(a₁+a_n)/2 или, так как a_n=n, то S_n=n(n+1)/2.
Для первой части задачи найти n, при котором S_n=120.
Для второй части задачи найти S₃₀, подставив n=30 в формулу.

Вычисление для первой части (сколько рядов нужно для 120 шаров):

Приравняем сумму к 120:

n(n+1)/2=120

Умножим обе части на 2:

n(n+1)=240 n²+n-240=0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

D=1²-4·1·(-240)=1+960=961 D=31

Корни уравнения:

n₁=-1+31/2=30/2=15 n₂=-1-31/2=-16

Так как количество рядов не может быть отрицательным, отбрасываем n₂. Получаем n=15.

Вычисление для второй части (сколько шаров в треугольнике из 30 рядов):

Подставим n=30 в формулу суммы:

S₃₀=30(30+1)/2=30·31/2

Сократим дробь:

S₃₀=15·31

Выполним умножение:

15·31=15·(30+1)=450+15=465

Таким образом, всего потребуется 465 шаров.

Проверка:

Для n=15: сумма чисел от 1 до 15 равна 15·16/2=15·8=120. Верно. Для n=30: сумма чисел от 1 до 30 равна 30·31/2=15·31=465. Верно.

Ответ

а) 15 рядов

б) 465 шаров

В учебнике есть чертёж: размеры перенесены в условие, сверьте с рисунком. Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 582 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 582?

Краткий ответ: а) 15 рядов б) 465 шаров.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Арифметическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.