ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 583: Арифметическая прогрессия

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии. Нам дана последовательность: 3,5,7,…. Сначала определим её параметры.

1. Определение параметров прогрессии:

• Первый член a₁=3.
• Разность прогрессии d=a₂-a₁=5-3=2.

2. Формула суммы:

Сумма n первых членов вычисляется по формуле: S_n=n/2(2a₁+(n-1)d) Подставим известные значения a₁=3 и d=2: S_n=n/2(2·3+(n-1)·2)=n/2(6+2n-2)=n/2(2n+4)=n(n+2)=n²+2n

3. Составление неравенства:

По условию сумма не должна превышать 120, то есть S_n≤120. Получаем квадратное неравенство относительно n: n²+2n≤120 Перенесём всё в левую часть: n²+2n-120≤0

4. Решение неравенства:

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения n²+2n-120=0. По теореме Виета или через дискриминант: D=b²-4ac=2²-4·1·(-120)=4+480=484 D=484=22 Корни уравнения: n₁=-2-22/2=-24/2=-12 n₂=-2+22/2=20/2=10 Так как ветви параболы направлены вверх (a>0), неравенство n²+2n-120≤0 выполняется при n из отрезка [-12;10]. Поскольку n — количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом (n>0). Следовательно, допустимые значения n: 1,2,…,10.

5. Проверка:

Проверим граничные случаи. При n=10: S₁₀=10(10+2)=10·12=120. Условие «не превышает 120» выполнено (120≤120). При n=11: S₁₁=11(11+2)=11·13=143. Это больше 120, значит, 11 членов брать нельзя.

Таким образом, наибольшее целое положительное значение n, удовлетворяющее условию, равно 10.