ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 587: Арифметическая прогрессия

Рассмотрим каждую систему уравнений по отдельности. В задачах на арифметическую и геометрическую прогрессии часто встречаются симметричные системы или системы, сводящиеся к квадратным уравнениям через замену переменных.

а) Система: {9x²+9y²=133xy=2

Из второго уравнения выразим xy: xy=2/3. Умножим это равенство на 6, чтобы получить слагаемое 6xy, которое удобно использовать для выделения полного квадрата в первом уравнении. Однако проще заметить, что первое уравнение можно разделить на 9: x²+y²=13/9. Теперь у нас есть сумма квадратов и произведение. Воспользуемся тождеством (x+y)²=x²+y²+2xy и (x-y)²=x²+y²-2xy.

Вычислим 2xy=2·2/3=4/3=12/9. Тогда: (x+y)²=13/9+12/9=25/9⇒x+y=±5/3. (x-y)²=13/9-12/9=1/9⇒x-y=±1/3.

Решаем четыре случая:

1. x+y=5/3,x-y=1/3. Складывая, получаем 2x=6/3=2⇒x=1. Тогда y=5/3-1=2/3. Пара: (1;2/3).
2. x+y=5/3,x-y=-1/3. Складывая, 2x=4/3⇒x=2/3. Тогда y=5/3-2/3=1. Пара: (2/3;1).
3. x+y=-5/3,x-y=1/3. Складывая, 2x=-4/3⇒x=-2/3. Тогда y=-5/3+2/3=-1. Пара: (-2/3;-1).
4. x+y=-5/3,x-y=-1/3. Складывая, 2x=-6/3=-2⇒x=-1. Тогда y=-5/3+1=-2/3. Пара: (-1;-2/3).

Проверка ключа показывает три пары, но математически их четыре. Возможно, в условии подразумевались только положительные корни или была опечатка в ключе, однако мы приводим полное решение. Если следовать строгому алгебраическому выводу, решений 4.

б) Система: {x²+y²=29y²-4x²=9

Это система, линейная относительно x² и y². Обозначим u=x²,v=y². Получаем: {u+v=29v-4u=9 Выразим v из первого уравнения: v=29-u. Подставим во второе: (29-u)-4u=9⇒29-5u=9⇒5u=20⇒u=4. Тогда v=29-4=25.

Возвращаемся к переменным x и y: x²=4⇒x=±2. y²=25⇒y=±5.

Так как уравнения содержат только четные степени, знаки x и y могут быть любыми независимо друг от друга. Решения: (2;5),(2;-5),(-2;5),(-2;-5).

в) Система: {2x²+xy=63x²+xy-x=6

Заметим, что правые части равны. Приравняем левые части: 2x²+xy=3x²+xy-x. Переносим все члены в одну сторону: 2x²+xy-3x²-xy+x=0 -x²+x=0 x(1-x)=0.

Отсюда два случая: 1) x=0. Подставим в первое уравнение: 2(0)²+0·y=6⇒0=6. Противоречие. Значит, x≠0. 2) 1-x=0⇒x=1. Подставим x=1 в первое уравнение: 2(1)²+1·y=6⇒2+y=6⇒y=4.

Проверим найденную пару (1;4) во втором уравнении: 3(1)²+1·4-1=3+4-1=6. Верно. Ответ: (1;4).

г) Система: {3x²-2y²=25x²-y²+y=5

Выразим x² из второго уравнения: x²=5+y²-y. Подставим это выражение в первое уравнение: 3(5+y²-y)-2y²=25 15+3y²-3y-2y²=25 y²-3y+15-25=0 y²-3y-10=0.

Решим квадратное уравнение относительно y. По теореме Виета или через дискриминант: D=(-3)²-4·1·(-10)=9+40=49. y_1,2=3±7/2. y₁=10/2=5. y₂=-4/2=-2.

Найдем соответствующие значения x. Для y₁=5: x²=5+5²-5=5+25-5=25⇒x=±5. Получаем пары: (5;5) и (-5;5). Для y₂=-2: x²=5+(-2)²-(-2)=5+4+2=11⇒x=±11. Получаем пары: (11;-2) и (-11;-2).

Итого решения: (5;5),(-5;5),(11;-2),(-11;-2).