9 класс Геометрическая прогрессия § 10. Геометрическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 595: Геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 594 596 →

Условие

В треугольнике ABC (рис. 72) провели среднюю линию A_1C_1, в треугольнике A_1BC_1 также провели среднюю линию A_2C_2, во вновь образовавшемся треугольнике A_2BC_2 снова провели среднюю линию A_3C_3 и т. д. Найдите площадь треугольника A_9BC_9, если известно, что площадь треугольника ABC равна 768 см².

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

1. Вспомним свойство средней линии треугольника: она параллельна основанию и равна его половине. Это означает, что треугольник, отсекаемый средней линией от вершины (в нашем случае B), подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия k=1/2.

2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь нового треугольника составляет (1/2)²=1/4 от площади предыдущего.

3. Площади последовательных треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/4. Нам нужно найти площадь девятого треугольника в этой цепочке (A₉BC₉).

Вычисление:

Обозначим площадь исходного треугольника ABC как S₀=768 см².

Площадь первого полученного треугольника A₁BC₁ будет:

S₁=S₀·q=768·1/4

Площадь второго треугольника A₂BC₂:

S₂=S₁·q=S₀·q²

По аналогии, площадь n-го треугольника A_nBC_n вычисляется по формуле:

S_n=S₀·qⁿ

Нам нужно найти площадь треугольника A₉BC₉, то есть при n=9:

S₉=768·(1/4)⁹

Представим числа в виде степеней двойки для удобства:

768=3·256=3·2⁸
4=2², следовательно, 4⁹=(2²)⁹=2¹⁸

Подставим эти значения в формулу:

S₉=3·2⁸/2¹⁸=3·2^8-18=3·2^-10=3/2¹⁰

Так как 2¹⁰=1024, получаем:

S₉=3/1024 см²

Проверка:

Давайте проверим логику на первых шагах. Исходная площадь 768. После первой средней линии площадь должна уменьшиться в 4 раза: 768/4=192. После второй: 192/4=48. Каждый шаг делит площадь на 4. За 9 шагов мы делим исходную площадь на 4⁹. Число 4⁹ очень велико (262144), поэтому результат должен быть малой дробью. 768/262144. Сократим на 256: числитель 768/256=3, знаменатель 262144/256=1024. Результат 3/1024 совпадает с вычислением через степени двойки. Ответ корректен.

Ответ

3/1024 см²

Задача сводится к применению свойств геометрической прогрессии к площадям подобных треугольников. Коэффициент подобия равен 1/2, коэффициент изменения площади — 1/4. Искомая площадь является 9-м членом прогрессии (если считать исходный треугольник нулевым членом или первым шагом преобразования). Важно правильно определить индекс n: A1 соответствует первому умножению на q, A9 — девятому.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 595 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 595?

Краткий ответ: 31024 см².

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.