ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 608: Геометрическая прогрессия

План решения:

• Найдём связь между сторонами последовательных треугольников, используя свойства высот равностороннего треугольника.
• Докажем, что отношение периметров соседних треугольников постоянно, то есть они образуют геометрическую прогрессию.
• Вычислим знаменатель прогрессии и первый член (периметр первого треугольника).
• Найдём периметр шестого треугольника по формуле n-го члена геометрической прогрессии.

Ход вычисления:

1. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной a. Его высота h выражается через сторону по формуле: h=a3/2

По условию, следующий треугольник построен на высотах предыдущего. Значит, сторона второго треугольника a₂ равна высоте первого треугольника h₁. Если сторона первого треугольника a₁=a, то: a₂=h₁=a₁3/2

Аналогично, сторона третьего треугольника a₃ равна высоте второго треугольника: a₃=h₂=a₂3/2

Таким образом, стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом a₁=8 см и знаменателем q_s=3/2.

2. Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне: P=3a. Так как стороны образуют геометрическую прогрессию, то и их утроенные значения (периметры) также образуют геометрическую прогрессию с тем же знаменателем.

Знаменатель прогрессии периметров q: q=P_n+1/P_n=3a_n+1/3a_n=a_n+1/a_n=3/2

Первый член прогрессии периметров P₁: P₁=3·a₁=3·8=24 см

Мы доказали, что периметры образуют геометрическую прогрессию, так как отношение любого следующего периметра к предыдущему постоянно и равно 3/2.

3. Найдём периметр шестого треугольника (P₆). Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: P_n=P₁·q^n-1

Подставим данные для n=6: P₆=24·(3/2)^6-1=24·(3/2)⁵

Вычислим степень: (3/2)⁵=(3)⁵/2⁵=93/32 (так как (3)⁵=3⁵=243=81·3=93)

Теперь найдём P₆: P₆=24·93/32

Сократим дробь. Числитель 24 и знаменатель 32 можно сократить на 8: 24:8=3, 32:8=4

Получаем: P₆=3·93/4=273/4

Проверка:

Давайте проверим логику на первых двух шагах. P₁=24. P₂=24·3/2=123. Сторона второго треугольника a₂=123/3=43. Высота первого треугольника h₁=83/2=43. Совпадает. Формула верна. Вычисление степени (3/2)⁵ верно. Арифметика сокращения дроби верна.