ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 609: Геометрическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В равносторонний треугольник со стороной 16 см вписан другой треугольник, вершины которого находятся в серединах сторон первого. Во второй треугольник аналогично вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Определим связь между сторонами последовательных треугольников, используя свойство средней линии.
- Докажем, что периметры образуют геометрическую прогрессию, найдя знаменатель прогрессии q.
- Вычислим периметр первого треугольника P1 и применим формулу n-го члена геометрической прогрессии для нахождения P8.
Ход вычисления:
Рассмотрим первый равносторонний треугольник со стороной a1=16 см. Его периметр равен:
P1=3·a1=3·16=48 см .Второй треугольник вписан так, что его вершины лежат в серединах сторон первого. Стороны второго треугольника являются средними линиями первого. По теореме о средней линии треугольника, длина средней линии равна половине основания. Следовательно, сторона второго треугольника a2 связана со стороной первого a1 соотношением:
a2=1/2a1.Так как все треугольники в этой цепочке равносторонние (вписанный через середины сторон равностороннего треугольника также является равносторонним), то их периметры относятся так же, как и стороны:
P2=3·a2=3·1/2a1=1/2P1.Аналогично, третий треугольник вписан во второй, поэтому:
P3=1/2P2.Общее соотношение для любого n-го треугольника:
Pn+1/Pn=1/2.Это означает, что последовательность периметров P1,P2,P3,… является геометрической прогрессией с первым членом b1=P1=48 и знаменателем q=1/2.
Найдём периметр восьмого треугольника (P8). Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии bn=b1·qn-1:
P8=P1·q8-1=48·(1/2)7.Вычислим степень:
(1/2)7=1/128.Подставим значение:
P8=48·1/128=48/128.Сократим дробь на 16:
48/128=3/8=0,375 см .Проверка:
Первый треугольник: P1=48.
Второй: P2=24.
Третий: P3=12.
Четвёртый: P4=6.
Пятый: P5=3.
Шестой: P6=1,5.
Седьмой: P7=0,75.
Восьмой: P8=0,375.
Расчёты совпадают с формулой общего члена.
а) Доказано: отношение соседних периметров постоянно и равно 1/2.
б) Периметр восьмого треугольника равен 0,375 см.
Использовано свойство средней линии треугольника. Знаменатель прогрессии q=1/2. Первый член b1=48. Формула bn=b1*q^(n-1).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 609 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 609?
Краткий ответ: а) Доказано: отношение соседних периметров постоянно и равно 12. б) Периметр восьмого треугольника равен 0,375 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.