ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 610: Геометрическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если второе число уменьшить на 1, а третье увеличить на 1, получится геометрическая прогрессия. Найдите исходные числа.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим три числа арифметической прогрессии через a1, a2, a3. Используем свойство среднего члена: a2=a1+a3/2 или представим числа как x-d, x, x+d.
- Запишем уравнение для суммы чисел и найдём средний член x.
- Составим новое множество чисел после изменений (второе минус 1, третье плюс 1) и запишем условие геометрической прогрессии (b2=ac).
- Решим полученное квадратное уравнение относительно разности d и найдём исходные числа.
Вычисление:
Пусть три числа арифметической прогрессии равны x-d, x, x+d, где x — средний член, а d — разность прогрессии.
По условию сумма этих чисел равна 21:
(x-d)+x+(x+d)=21 3x=21 x=7Таким образом, исходные числа имеют вид: 7-d, 7, 7+d.
Теперь выполним преобразования из условия задачи:
- Первое число осталось прежним: b1=7-d.
- Второе число уменьшили на 1: b2=7-1=6.
- Третье число увеличили на 1: b3=(7+d)+1=8+d.
Числа 7-d, 6, 8+d образуют геометрическую прогрессию. Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии верно равенство квадрата среднего члена произведению крайних:
b22=b1·b3 62=(7-d)(8+d) 36=56+7d-8d-d2 36=56-d-d2Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:
d2+d+36-56=0 d2+d-20=0Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни равны:
d1=4, d2=-5Найдём исходные числа для каждого случая:
- Если d=4:
Первое число: 7-4=3
Второе число: 7
Третье число: 7+4=11
Исходная тройка: 3, 7, 11 . - Если d=-5:
Первое число: 7-(-5)=12
Второе число: 7
Третье число: 7+(-5)=2
Исходная тройка: 12, 7, 2 .
Проверка:
1. Для тройки 3, 7, 11:
Это арифметическая прогрессия? Да, 7-3=4, 11-7=4. Сумма: 3+7+11=21. Верно.
Изменяем по условию: второе 7-1=6, третье 11+1=12. Получаем ряд 3, 6, 12.
Это геометрическая прогрессия? Знаменатель q=6/3=2, следующий член 6·2=12. Верно.
2. Для тройки 12, 7, 2:
Это арифметическая прогрессия? Да, 7-12=-5, 2-7=-5. Сумма: 12+7+2=21. Верно.
Изменяем по условию: второе 7-1=6, третье 2+1=3. Получаем ряд 12, 6, 3.
Это геометрическая прогрессия? Знаменатель q=6/12=0.5, следующий член 6·0.5=3. Верно.
а) 3, 7, 11
б) 12, 7, 2
Задача решается через параметризацию арифметической прогрессии вокруг среднего члена, что упрощает вычисления. Ключевой момент — корректный перевод условий изменения чисел в алгебраические выражения и применение свойства геометрической прогрессии.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 610 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 610?
Краткий ответ: а) 3, 7, 11 б) 12, 7, 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.