ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 614: Геометрическая прогрессия

В данной задаче требуется решить три неравенства. Несмотря на то что тема параграфа посвящена геометрической прогрессии, само задание относится к теме квадратичных и рациональных неравенств. Рассмотрим каждое неравенство отдельно методом интервалов.

а) 2x²-13x-34≥0

• Найдем корни соответствующего квадратного уравнения 2x²-13x-34=0.
• Дискриминант: D=(-13)²-4·2·(-34)=169+272=441.
• D=21.
• Корни: x₁=13-21/4=-8/4=-2, x₂=13+21/4=34/4=8.5.
• Так как старший коэффициент (a=2) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство вида ≥0 выполняется вне промежутка между корнями, включая сами корни (так как знак нестрогий).
• Ответ для пункта а): (-∞;-2]∪[8.5;+∞).

Примечание: В ключе ответа указано [8;+∞), однако при проверке числа 8 в исходном неравенстве получаем 2(64)-13(8)-34=128-104-34=-10<0, что не удовлетворяет условию ≥0. Число 8.5 является точным корнем. Вероятно, в ключе допущена опечатка или округление, но математически верный ответ включает 8.5.

б) 10x-4x²<0

• Перепишем неравенство в стандартном виде: -4x²+10x<0.
• Вынесем общий множитель за скобки или умножим на -1 (меняя знак неравенства): 4x²-10x>0.
• Разложим на множители: 2x(2x-5)>0.
• Нули функции: x=0 и 2x-5=0⇒x=2.5.
• Так как после приведения к виду ax²+bx+c с a>0 мы решаем неравенство >0, решение находится вне промежутка между корнями. Знаки чередуются: (+) на (-∞;0), (-) на (0;2.5), (+) на (2.5;+∞).
• Нас интересуют области со знаком плюс.
• Ответ для пункта б): (-∞;0)∪(2.5;+∞).

в) x-4/2x+5≤0

• Это дробно-рациональное неравенство. Решаем методом интервалов.
• Найдем нули числителя: x-4=0⇒x=4. Так как неравенство нестрогое (≤), точка x=4 входит в решение (закрашенная).
• Найдем нули знаменателя: 2x+5=0⇒x=-2.5. Точка x=-2.5 вычитается из области определения (пустая).
• Отметим точки на числовой прямой: -2.5 и 4. Они разбивают прямую на три промежутка: (-∞;-2.5), (-2.5;4), (4;+∞).
• Проверим знаки выражения на каждом промежутке:
• При x=-3: -3-4/-6+5=-7/-1=7>0 (не подходит).
• При x=0: 0-4/0+5=-4/5<0 (подходит).
• При x=5: 5-4/10+5=1/15>0 (не подходит).
• Таким образом, отрицательные значения принимаются на промежутке (-2.5;4). С учетом того, что x=4 входит в решение, а x=-2.5 нет, получаем полуинтервал.
• Ответ для пункта в): (-2.5;4].