9 класс Геометрическая прогрессия § 10. Геометрическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 611: Геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Татьяна Белова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 610 612 →

Условие

Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если первое и второе числа увеличить на 1, а третье — на 4, получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим три числа арифметической прогрессии через a-d, a и a+d. Это удобно, так как сумма упростится.
Используем условие о сумме чисел, чтобы найти средний член a.
Запишем новые числа после изменения и используем свойство геометрической прогрессии (квадрат среднего члена равен произведению крайних).
Решим полученное уравнение относительно разности d и найдём исходные числа.

Вычисление:

Пусть три положительных числа образуют арифметическую прогрессию. Обозначим их как:

x₁=a-d, x₂=a, x₃=a+d

По условию сумма этих чисел равна 15:

(a-d)+a+(a+d)=15 3a=15 a=5

Таким образом, исходные числа имеют вид: 5-d, 5, 5+d.

Теперь изменим числа согласно условию задачи:

Первое число увеличим на 1: y₁=(5-d)+1=6-d
Второе число увеличим на 1: y₂=5+1=6
Третье число увеличим на 4: y₃=(5+d)+4=9+d

Числа y_1,y_2,y₃ образуют геометрическую прогрессию. Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии верно равенство:

y22=y₁·y₃

Подставим выражения:

6²=(6-d)(9+d) 36=54+6d-9d-d² 36=54-3d-d²

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к стандартному виду квадратного уравнения:

d²+3d-18=0

Найдём корни уравнения по теореме Виета или дискриминанту. Сумма корней равна -3, произведение -18. Корни: d₁=3, d₂=-6.

Проверим оба случая на положительность исходных чисел (x_1,x_2,x₃>0):

Если d=3:
Числа: 5-3=2, 5, 5+3=8. Все положительные.
Новые числа: 2+1=3, 5+1=6, 8+4=12. Прогрессия 3,6,12 — геометрическая (q=2). Подходит.
Если d=-6:
Числа: 5-(-6)=11, 5, 5+(-6)=-1. Третье число отрицательное, что противоречит условию «три положительных числа». Не подходит.

Ответ:

Искомые числа: 2, 5, 8.

Ответ

2, 5, 8

Задача решается методом введения параметра для арифметической прогрессии. Ключевой момент — проверка условия положительности всех исходных чисел, которое отсекает один из корней квадратного уравнения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 611 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 611?

Краткий ответ: 2, 5, 8.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.