ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 612: Геометрическая прогрессия

План решения:

• Обозначим стороны прямоугольного треугольника как члены геометрической прогрессии.
• Применим теорему Пифагора для составления уравнения относительно знаменателя прогрессии q.
• Решим полученное биквадратное уравнение и проанализируем полученные корни на предмет их соответствия геометрическому смыслу (положительные длины).

Вычисление:

Пусть стороны прямоугольного треугольника составляют геометрическую прогрессию. Обозначим меньший катет за a, тогда остальные стороны можно выразить через знаменатель прогрессии q (q>0):

Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза — самая длинная сторона, то при q>1 гипотенузой будет c. Если же 0<q<1, то роли сторон меняются, но структура уравнения останется симметричной относительно перестановки слагаемых. Рассмотрим случай q>1, где c — гипотенуза, а a и b — катеты.

Согласно теореме Пифагора:

Подставим выражения через a и q:

Разделим обе части уравнения на a² (так как a≠0):

Перенесем все слагаемые в одну сторону и сделаем замену переменной t=q², где t>0:

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Корни уравнения:

Так как t=q² должно быть положительным числом, отбрасываем отрицательный корень t₂=1-5/2<0. Оставляем только:

Возвращаемся к переменной q:

Это значение является положительным действительным числом (приближенно q≈1,272). Следовательно, такой знаменатель существует.

Проверка и вывод:

Мы нашли конкретное положительное значение q, удовлетворяющее условию задачи. Это означает, что если взять стороны треугольника в отношении 1:q:q² с найденным q, то сумма квадратов двух меньших сторон будет равна квадрату наибольшей стороны.

Ответ: Да, могут. Стороны такого треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=1+5/2 (или его обратным значением 1/q, если менять порядок следования).