9 класс Геометрическая прогрессия § 10. Геометрическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 618: Геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 617 619 →

Условие

Доказать, что последовательность (bₙ) является геометрической прогрессией, и найти сумму первых n её членов, если

а) bₙ = 0,2 · 5ⁿ

б) bₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹

в) bₙ = 3¹+ⁿ

г) bₙ = 2ⁿ⁺². Также обсудить ход доказательства, распределить задания для работы в парах и проверить друг друга.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для того чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо проверить два условия:

Все члены последовательности отличны от нуля.
Отношение каждого члена (начиная со второго) к предыдущему есть величина постоянная. То есть b_n+1/b_n=q для любого натурального n.

Если эти условия выполнены, то сумма первых n членов вычисляется по формуле: S_n=b₁(qⁿ-1)/q-1 или S_n=b₁(1-qⁿ)/1-q. Выбор формы зависит от того, больше или меньше знаменатель q единицы, но результат будет одинаковым.

а) b_n=0,2·5ⁿ

Найдем первый член и знаменатель прогрессии.

Вычислим отношение соседних членов:

b_n+1/b_n=0,2·5ⁿ⁺¹/0,2·5ⁿ=5ⁿ⁺¹/5ⁿ=5

Знаменатель q=5 постоянен и не равен нулю. Члены последовательности не равны нулю (0,2≠0, 5ⁿ>0). Следовательно, это геометрическая прогрессия.

Найдем первый член b₁: при n=1, b₁=0,2·5¹=1.

Сумма первых n членов:

S_n=1·(5ⁿ-1)/5-1=5ⁿ-1/4

б) b_n=3·2^n-1

Проверим признак геометрической прогрессии:

b_n+1/b_n=3·2^(n+1)-1/3·2^n-1=3·2ⁿ/3·2^n-1=2ⁿ/2^n-1=2

Знаменатель q=2 постоянен. Все члены положительны. Это геометрическая прогрессия.

Первый член b₁: при n=1, b₁=3·2^1-1=3·2⁰=3·1=3.

Сумма первых n членов:

S_n=3·(2ⁿ-1)/2-1=3(2ⁿ-1)

в) b_n=3¹⁺ⁿ

Преобразуем выражение для удобства: b_n=3·3ⁿ.

Найдем отношение:

b_n+1/b_n=3^1+(n+1)/3¹⁺ⁿ=3ⁿ⁺²/3ⁿ⁺¹=3

Знаменатель q=3 постоянен. Это геометрическая прогрессия.

Первый член b₁: при n=1, b₁=3¹⁺¹=3²=9.

Сумма первых n членов:

S_n=9·(3ⁿ-1)/3-1=9(3ⁿ-1)/2

г) b_n=2ⁿ⁺²

Найдем отношение соседних членов:

b_n+1/b_n=2^(n+1)+2/2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺³/2ⁿ⁺²=2

Знаменатель q=2 постоянен. Это геометрическая прогрессия.

Первый член b₁: при n=1, b₁=2¹⁺²=2³=8.

Сумма первых n членов:

S_n=8·(2ⁿ-1)/2-1=8(2ⁿ-1)

Организация работы в парах

Рекомендуется следующий алгоритм взаимодействия:

Распределение: Ученик А решает пункты а) и б), ученик Б — пункты в) и г).
Самостоятельная работа: Каждый выполняет доказательства и расчеты в своей тетради.
Взаимопроверка: Партнеры обмениваются тетрадями. Проверяющий сверяет найденный знаменатель q и первый член b₁ с эталоном на доске или у учителя. Затем проверяется правильность подстановки в формулу суммы.
Обсуждение: Если найдены ошибки, партнеры совместно разбирают их причины (например, неверное возведение степени или ошибка в индексе n).

Ответ

а) Геом. прогр., q=5,b₁=1;S_n=5ⁿ-1/4

б) Геом. прогр., q=2,b₁=3;S_n=3(2ⁿ-1)

в) Геом. прогр., q=3,b₁=9;S_n=9(3ⁿ-1)/2

г) Геом. прогр., q=2,b₁=8;S_n=8(2^n - 1)$

В решении использован стандартный метод проверки геометрической прогрессии через отношение b_n+1/b_n. Для каждого пункта явно выделен знаменатель q и первый член b₁, так как они необходимы для формулы суммы. Формула суммы приведена в виде b₁(qⁿ-1)/q-1, что удобно для q>1. В пункте в) важно не ошибиться с показателем степени при нахождении b₁ (3¹⁺¹=9, а не 3).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 618 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 618?

Краткий ответ: а) Геом. прогр., q=5, b_1=1; S_n = 5^n - 14 б) Геом. прогр., q=2, b_1=3; S_n = 3(2^n - 1) в) Геом. прогр., q=3, b_1=9; S_n = 9(3^n - 1)2 г) Геом. прогр., q=2,b_1=8;S_n = 8(2^n - 1).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.