ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 622: Геометрическая прогрессия

План решения:

1. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии b_n=b₁·q^n-1, найдём знаменатель прогрессии q.
2. Определим знак знаменателя q, опираясь на условие о чередовании знаков членов прогрессии.
3. Вычислим сумму первых шести членов по формуле S_n=b₁(1-qⁿ)/1-q.

Вычисление:

Дано: b₁=2, b₅=162. Члены с чётными номерами отрицательны (b₂<0,b₄<0,b₆<0), а с нечётными — положительны (b₁>0,b₃>0,b₅>0).

Найдём знаменатель q. По формуле общего члена: b₅=b₁·q⁴ Подставим известные значения: 162=2·q⁴ q⁴=162/2=81 Отсюда q=481. Так как 3⁴=81 и (-3)⁴=81, то возможны два корня: q=3 или q=-3.

Проверим знаки. Если q=3, то все члены прогрессии будут положительными (так как b₁>0). Это противоречит условию, что члены с чётными номерами отрицательны. Если q=-3, то: b₁=2 (положителен) b₂=2·(-3)=-6 (отрицателен) b₃=-6·(-3)=18 (положителен) Знаки чередуются, что соответствует условию задачи. Следовательно, q=-3.

Теперь найдём сумму первых шести членов S₆: S₆=b₁(1-q⁶)/1-q Подставим b₁=2 и q=-3: S₆=2(1-(-3)⁶)/1-(-3) Вычислим степень: (-3)⁶=729. S₆=2(1-729)/1+3=2·(-728)/4 S₆=-1456/4=-364

Проверка:

Выпишем первые шесть членов прогрессии при b₁=2,q=-3: 1) b₁=2 2) b₂=-6 3) b₃=18 4) b₄=-54 5) b₅=162 (совпадает с условием) 6) b₆=-486 Сумма: 2+(-6)+18+(-54)+162+(-486). Группируем положительные и отрицательные числа: Положительные: 2+18+162=182. Отрицательные: -6-54-486=-546. Общая сумма: 182-546=-364. Результат совпал с вычислением по формуле.