9 класс Геометрическая прогрессия § 10. Геометрическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 624: Геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Ольга Кузнецова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 623 625 →

Условие

В геометрической прогрессии с положительными членами сумма первых двух равна 8, а сумма третьего и четвёртого — 72. Сколько членов нужно сложить начиная с первого, чтобы получить в сумме 242?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии через b₁, а знаменатель — через q. По условию все члены положительны, значит b₁>0 и q>0.

Составим систему уравнений на основе данных о суммах:

Сумма первых двух членов равна 8: b₁+b₂=8⇒b₁(1+q)=8
Сумма третьего и четвёртого членов равна 72: b₃+b₄=72⇒b₁q²+b₁q³=72⇒b₁q²(1+q)=72

Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти знаменатель прогрессии:

b₁q²(1+q)/b₁(1+q)=72/8

После сокращения получаем:

q²=9

Так как члены прогрессии положительны, то q>0. Следовательно, q=3.

Теперь найдем первый член b₁, подставив значение q в первое уравнение:

b₁(1+3)=8⇒4b₁=8⇒b₁=2

Итак, мы имеем геометрическую прогрессию с b₁=2 и q=3. Нам нужно найти количество членов n, сумма которых равна 242. Используем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n=b₁(qⁿ-1)/q-1

Подставим известные значения (S_n=242, b₁=2, q=3):

242=2(3ⁿ-1)/3-1

Упростим выражение:

242=2(3ⁿ-1)/2

Двойки сокращаются:

242=3ⁿ-1

Перенесем единицу в левую часть:

3ⁿ=243

Вспомним степени числа 3: 3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243. Таким образом, n=5.

Проверка: Сумма первых пяти членов: 2+6+18+54+162.
2+6=8, 8+18=26, 26+54=80, 80+162=242. Результат верный.

Ответ

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 624 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 624?

Краткий ответ: 5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.