9 класс Геометрическая прогрессия § 10. Геометрическая прогрессия

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 619: Геометрическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Ольга Кузнецова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 618 620 →

Условие

Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии

а) 1; 3; 3²; ...

б) 2; 2²; 2³; ...

в) 1/2; -1/4; 1/8; ...

г) 1; -x; x²; ..., где x≠-1

д) 1; x²; x⁴; ..., где x ≠ ±1

е) 1; -x³; x⁶; ..., где x≠-1.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n=b₁(1-qⁿ)/1-q, q≠1

где b₁ — первый член прогрессии, а q — знаменатель прогрессии. Знаменатель находится как отношение последующего члена к предыдущему: q=b_k+1/b_k.

а) Прогрессия: 1;3;3²;…

Первый член b₁=1.
Знаменатель q=3/1=3.
Подставляем в формулу:

S_n=1·(1-3ⁿ)/1-3=1-3ⁿ/-2=3ⁿ-1/2

б) Прогрессия: 2;2²;2³;…

Первый член b₁=2.
Знаменатель q=2²/2=2.
Подставляем в формулу:

S_n=2·(1-2ⁿ)/1-2=2(1-2ⁿ)/-1=2(2ⁿ-1)=2ⁿ⁺¹-2

в) Прогрессия: 1/2;-1/4;1/8;…

Первый член b₁=1/2.
Знаменатель q=-1/4/1/2=-1/2.
Подставляем в формулу:

S_n=1/2(1-(-1/2)ⁿ)/1-(-1/2)=1/2(1-(-1/2)ⁿ)/3/2=1/3(1-(-1/2)ⁿ)

г) Прогрессия: 1;-x;x²;…, где x≠-1

Первый член b₁=1.
Знаменатель q=-x/1=-x.
Условие x≠-1 гарантирует, что q≠1 (так как если бы x=-1, то q=1).
Подставляем в формулу:

S_n=1·(1-(-x)ⁿ)/1-(-x)=1-(-x)ⁿ/1+x

д) Прогрессия: 1;x²;x⁴;…, где x≠±1

Первый член b₁=1.
Знаменатель q=x²/1=x².
Условие x≠±1 гарантирует, что q≠1.
Подставляем в формулу:

S_n=1·(1-(x²)ⁿ)/1-x²=1-x²ⁿ/1-x²

е) Прогрессия: 1;-x³;x⁶;…, где x≠-1

Первый член b₁=1.
Знаменатель q=-x³/1=-x³.
Условие x≠-1 гарантирует, что q≠1 (при x=-1, q=-(-1)³=1).
Подставляем в формулу:

S_n=1·(1-(-x³)ⁿ)/1-(-x³)=1-(-x³)ⁿ/1+x³

Ответ

а) 3ⁿ-1/2

б) 2ⁿ⁺¹-2

в) 1/3(1-(-1/2)ⁿ)

г) 1-(-x)ⁿ/1+x

д) 1-x²ⁿ/1-x²

е) 1-(-x³)ⁿ/1+x³

Во всех пунктах применяется стандартная формула суммы геометрической прогрессии. Важно правильно определить знаменатель q. В пунктах с переменными необходимо учитывать условия на x, чтобы избежать деления на ноль (q≠1). Например, в пункте г) при x=-1 знаменатель равен 1, и сумма была бы равна n, но по условию x≠-1. Аналогично для пунктов д) и е).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 619 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 619?

Краткий ответ: а) 3^n - 12 б) 2^n+1 - 2 в) 13 (1 - (- 12)^n) г) 1 - (-x)^n1 + x д) 1 - x^2n1 - x^2 е) 1 - (-x^3)^n1 + x^3.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.