ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 629: Геометрическая прогрессия

План решения:

• Сначала проверим формулу для конкретных значений n=1, n=2 и n=3, подставив их в левую и правую части равенства.
• Затем докажем справедливость формулы для любого натурального n методом математической индукции. Для этого нужно выполнить два шага: проверить базу индукции (мы это уже сделали при n=1) и сделать шаг индукции (предположить верность для k и доказать для k+1).

Проверка формулы при n=1,2,3:

Формула имеет вид: 1³+2³+…+n³=n²(n+1)²/4

1) При n=1: Левая часть: 1³=1. Правая часть: 1²(1+1)²/4=1·4/4=1. Равенство верно: 1=1.

2) При n=2: Левая часть: 1³+2³=1+8=9. Правая часть: 2²(2+1)²/4=4·9/4=9. Равенство верно: 9=9.

3) При n=3: Левая часть: 1³+2³+3³=1+8+27=36. Правая часть: 3²(3+1)²/4=9·16/4=144/4=36. Равенство верно: 36=36.

Доказательство методом математической индукции:

Пусть формула верна для некоторого натурального числа k, то есть предположим, что выполняется равенство:

Нам нужно доказать, что тогда формула будет верна и для следующего числа k+1. Рассмотрим сумму кубов до (k+1)-го члена включительно:

Подставим вместо первых k слагаемых наше предположение (гипотезу индукции):

Вынесем общий множитель (k+1)² за скобки:

Приведем выражение в квадратных скобках к общему знаменателю:

Заметим, что числитель k²+4k+4 является полным квадратом суммы (k+2)². Тогда:

Мы получили именно ту формулу, которая должна была бы получиться при подстановке n=k+1 в исходное равенство. Таким образом, если формула верна для k, она верна и для k+1.

Вывод:

Так как база индукции (n=1) верна и шаг индукции доказан, то по принципу математической индукции формула суммы кубов натуральных чисел верна для любого натурального n.