ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 631: Геометрическая прогрессия

План решения:

Для доказательства утверждения воспользуемся методом математической индукции. Нам нужно проверить два шага: базу индукции (справедливость формулы для n=1) и шаг индукции (если формула верна для некоторого натурального числа k, то она верна и для k+1).

Вычисление:

1. База индукции. При n=1 левая часть равенства содержит только первое слагаемое ряда: 1/1·2=1/2 Правая часть по формуле S_n=n/n+1 при n=1 равна: 1/1+1=1/2 Таким образом, при n=1 равенство верно.

2. Предположение индукции. Допустим, что формула справедлива для некоторого натурального числа k. То есть считаем, что сумма первых k членов ряда равна: S_k=1/1·2+1/2·3+…+1/k(k+1)=k/k+1

3. Шаг индукции. Докажем, что тогда формула верна и для n=k+1. Запишем сумму S_k+1 как сумму первых k членов плюс (k+1)-й член ряда: S_k+1=S_k+1/(k+1)(k+2) Подставим сюда предположение индукции (S_k=k/k+1): S_k+1=k/k+1+1/(k+1)(k+2) Приведем дроби к общему знаменателю (k+1)(k+2): S_k+1=k(k+2)/(k+1)(k+2)+1/(k+1)(k+2)=k²+2k+1/(k+1)(k+2) Заметим, что числитель является полным квадратом суммы: k²+2k+1=(k+1)². Тогда: S_k+1=(k+1)²/(k+1)(k+2) Сократим дробь на (k+1) (так как k — натуральное число, k+1≠0): S_k+1=k+1/k+2 Это выражение в точности совпадает с формулой n/n+1 при подстановке n=k+1. k+1/(k+1)+1=k+1/k+2

Проверка и вывод:

Мы показали, что если формула верна для n=k, то она верна и для n=k+1. Поскольку база индукции (n=1) выполнена, по принципу математической индукции формула S_n=n/n+1 справедлива для любого натурального n.