ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 632

План решения:

Для доказательства равенства для любого натурального n воспользуемся методом математической индукции. Нам нужно показать, что сумма ∑nk=1k(3k+1) равна n(n+1)². Шаг 1: проверим базу индукции при n=1. Шаг 2: предположим, что формула верна для некоторого n=m, и докажем её справедливость для n=m+1.

Вычисление:

База индукции (n=1):

Левая часть (сумма произведений): ∑1k=1k(3k+1)=1·(3·1+1)=1·4=4 Правая часть (формула): n(n+1)²=1·(1+1)²=1·2²=4 Так как 4=4, база индукции доказана.

Шаг индукции:

Предположим, что равенство верно для n=k (в условии задачи индекс суммирования тоже k, поэтому для шага индукции обозначим текущее число слагаемых за m, чтобы не путать с индексом внутри суммы). То есть считаем верным утверждение: ∑mi=1i(3i+1)=m(m+1)² Нужно доказать, что тогда верно и для n=m+1: ∑m+1i=1i(3i+1)=(m+1)(m+2)² Рассмотрим левую часть для m+1: S_m+1=∑m+1i=1i(3i+1)=(∑mi=1i(3i+1))+(m+1)(3(m+1)+1) Подставим предположение об истинности для m: S_m+1=m(m+1)²+(m+1)(3m+3+1)=m(m+1)²+(m+1)(3m+4) Вынесем общий множитель (m+1) за скобки: S_m+1=(m+1)[m(m+1)+(3m+4)] Раскроем внутренние скобки: m(m+1)+3m+4=m²+m+3m+4=m²+4m+4 Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: m²+4m+4=(m+2)² Тогда: S_m+1=(m+1)(m+2)² Это в точности совпадает с правой частью формулы для n=m+1.

Проверка:

Мы показали, что если формула верна для m, то она верна и для m+1. Поскольку мы проверили случай n=1, по принципу математической индукции равенство верно для всех натуральных n. Для наглядности можно проверить ещё один шаг, например, для n=2. Слева: 1(4)+2(7)=4+14=18. Справа: 2(3)²=2·9=18. Равенство выполняется.