ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 636
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Ольга Кузнецова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Для чисел Фибоначчи (u_n), где u1=1, u2=1 и u_{n+2}=un+u{n+1}, доказать свойства
а) сумма нечетных членов u_1 + ... + u_{2n-1} равна u_{2n}
б) сумма квадратов первых n членов равна произведению un·u{n+1}.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства свойств чисел Фибоначчи воспользуемся методом математической индукции. Напомню определение последовательности: u1=1, u2=1, и для любого n≥1 выполняется рекуррентное соотношение un+2=un+1+un.
а) Докажем, что сумма нечетных членов равна следующему четному члену:
Утверждение: u1+u3+…+u2n-1=u2n.
- База индукции. При n=1 левая часть равна u1=1. Правая часть равна u2=1. Равенство верно.
- Предположение. Пусть формула верна для некоторого k: Sk=u1+u3+…+u2k-1=u2k.
- Шаг индукции. Рассмотрим сумму для n=k+1: Sk+1=u1+u3+…+u2k-1+u2(k+1)-1=Sk+u2k+1. Подставим предположение: Sk+1=u2k+u2k+1. По определению чисел Фибоначчи, сумма двух соседних членов равна следующему за ними члену: u2k+u2k+1=u2k+2. Заметим, что u2k+2 — это как раз u2(k+1). Таким образом, Sk+1=u2(k+1). Утверждение доказано.
б) Докажем, что сумма квадратов первых n членов равна произведению n-го и (n+1)-го членов:
Утверждение: u21+u22+…+u2n=un·un+1.
- База индукции. При n=1 левая часть: u21=12=1. Правая часть: u1·u2=1·1=1. Равенство верно.
- Предположение. Пусть формула верна для n=k: ∑ki=1u2i=uk·uk+1.
- Шаг индукции. Рассмотрим сумму для n=k+1: ∑k+1i=1u2i=(∑ki=1u2i)+u2k+1. Используя предположение, заменяем сумму в скобках: =uk·uk+1+u2k+1. Вынесем общий множитель uk+1 за скобки: =uk+1(uk+uk+1). По определению последовательности Фибоначчи, uk+uk+1=uk+2. Следовательно, выражение равно: uk+1·uk+2. Это в точности правая часть утверждения для n=k+1. Утверждение доказано.
а) u1+…+u2n-1=u2n
б) u21+…+u2n=unun+1
В решении использован метод математической индукции, который является стандартным инструментом для доказательства тождеств с рекуррентными последовательностями. В пункте а) ключевым шагом является использование определения un+2=un+1+un для перехода от суммы к одному члену. В пункте б) важно правильно вынести общий множитель и снова применить рекуррентное соотношение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 636 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 636?
Краткий ответ: а) u_1 + + u_2n-1 = u_2n б) u_1^2 + + u_n^2 = u_n u_n+1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 9.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.