ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 635

План решения. Для доказательства делимости выражения 49ⁿ-1 на 48 при любом натуральном n воспользуемся методом математической индукции. Этот метод состоит из двух шагов: проверка базы индукции (для n=1) и переход от n=k к n=k+1.

Вычисление.

1. База индукции. При n=1 значение выражения равно 49¹-1=48. Число 48 делится на 48 без остатка (48:48=1). Утверждение верно для n=1.
2. Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть 49^k-1 делится на 48. Это значит, что существует целое число m, такое что 49^k-1=48m, откуда 49^k=48m+1.
3. Шаг индукции. Докажем, что утверждение верно для n=k+1. Рассмотрим выражение: 49^k+1-1=49·49^k-1 Подставим сюда выражение для 49^k из предположения индукции: 49(48m+1)-1=49·48m+49-1=49·48m+48 Вынесем общий множитель 48 за скобки: 48(49m+1) Так как m — целое число, то и (49m+1) — целое число. Следовательно, произведение 48(49m+1) делится на 48.

Проверка и вывод. Мы показали, что если утверждение верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. Поскольку база индукции (n=1) верна, по принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных n. Таким образом, 49ⁿ-1 делится на 48 при любом натуральном n.