ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 634
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Для последовательности (a_n), заданной рекуррентно a1=-5, a_{k+1} = ak+10k+5, доказать формулу общего члена an=5n2-10.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства формулы общего члена последовательности воспользуемся методом математической индукции. Нам дана рекуррентная формула ak+1=ak+10k+5 с начальным условием a1=-5. Требуется доказать, что для любого натурального n выполняется равенство an=5n2-10.
Шаг 1: Проверка базы индукции.
Подставим n=1 в предполагаемую формулу общего члена:
a1=5·12-10=5-10=-5.Полученное значение совпадает с заданным начальным условием a1=-5. Таким образом, база индукции верна.
Шаг 2: Предположение индукции.
Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа k, то есть:
ak=5k2-10.Шаг 3: Переход к следующему члену.
Нам нужно доказать, что если предположение верно для k, то оно верно и для k+1, то есть ak+1=5(k+1)2-10.
Используем рекуррентную формулу из условия задачи:
ak+1=ak+10k+5.Подставим сюда выражение для ak из предположения индукции:
ak+1=(5k2-10)+10k+5.Сгруппируем подобные слагаемые:
ak+1=5k2+10k-5.Теперь преобразуем правую часть целевой формулы для ak+1:
5(k+1)2-10=5(k2+2k+1)-10=5k2+10k+5-10=5k2+10k-5.Мы видим, что полученное выражение для ak+1 через рекуррентность (5k2+10k-5) точно совпадает с выражением, полученным из формулы общего члена для n=k+1.
Вывод.
Так как база индукции верна и переход от k к k+1 доказан, по принципу математической индукции формула an=5n2-10 справедлива для всех натуральных n.
Доказано методом математической индукции.
Задача требует стандартного применения метода математической индукции. Важно аккуратно раскрыть скобки при переходе от k к k+1 и показать тождество двух полученных выражений.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 634 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 634?
Краткий ответ: Доказано методом математической индукции.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 9.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.