ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 630: Геометрическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать равенство 1·2 + 2·3 + ... + n(n+1) = 1/3 n(n+1)(n+2) для любого натурального n.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства для любого натурального n применим метод математической индукции. Этот метод состоит из двух шагов: проверка базы индукции (для первого значения n) и переход от предположения к доказательству (если формула верна для k, то она верна для k+1).
Шаг 1. База индукции.
Проверим справедливость равенства при n=1. Левая часть суммы содержит только первое слагаемое: S1=1·(1+1)=1·2=2. Правая часть формулы при n=1: 1/3·1·(1+1)·(1+2)=1/3·1·2·3=6/3=2. Так как 2=2, база индукции доказана.
Шаг 2. Переход индукции.
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k. То есть считаем истинным утверждение:
1·2+2·3+…+k(k+1)=1/3k(k+1)(k+2).Нам нужно доказать, что тогда равенство будет верно и для следующего числа n=k+1. Запишем сумму до (k+1)-го члена:
Sk+1=[1·2+2·3+…+k(k+1)]+(k+1)(k+2).Заменим выражение в квадратных скобках на правую часть нашего предположения:
Sk+1=1/3k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2).Вынесем общий множитель (k+1)(k+2) за скобки:
Sk+1=(k+1)(k+2)(k/3+1).Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
k/3+1=k+3/3.Подставим это обратно в выражение для Sk+1:
Sk+1=(k+1)(k+2)·k+3/3=1/3(k+1)(k+2)(k+3).Теперь посмотрим, что должна давать правая часть исходной формулы при подстановке n=k+1. Исходная формула: 1/3n(n+1)(n+2). Заменим n на k+1:
1/3(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)=1/3(k+1)(k+2)(k+3).Мы получили точно такое же выражение, как и в результате преобразований левой части. Следовательно, если формула верна для k, то она верна и для k+1.
Вывод.
По принципу математической индукции равенство 1·2+2·3+…+n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2) верно для любого натурального n.
Доказано методом математической индукции.
Задача требует стандартного применения метода математической индукции. Важно аккуратно выполнить алгебраические преобразования на шаге перехода, вынеся общий множитель.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 630 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 630?
Краткий ответ: Доказано методом математической индукции.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Геометрическая прогрессия.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.