ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 641: арифметическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Периметр треугольника равен 24 см, длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим стороны треугольника через члены арифметической прогрессии.
- Используем формулу периметра для нахождения среднего члена прогрессии (одной из сторон).
- Применим неравенство треугольника и условие положительности длин сторон, чтобы найти допустимые значения разности прогрессии d.
- Переберём целые значения параметров, удовлетворяющие полученным ограничениям.
Вычисление:
Пусть длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Для удобства записи обозначим их как a-d, a и a+d, где a>0 — средняя сторона, а d — разность прогрессии (d≥0 без потери общности, так как порядок слагаемых не важен для множества значений).
Периметр треугольника равен сумме его сторон:
P=(a-d)+a+(a+d)=3aПо условию P=24 см. Тогда:
3a=24impliesa=8Таким образом, одну сторону треугольника определить можно, её длина равна 8 см . Остальные две стороны выражаются через d: 8-d и 8+d.
Чтобы эти три числа образовывали треугольник, должны выполняться неравенства треугольника (сумма любых двух сторон больше третьей). Так как d≥0, то 8+d — наибольшая сторона. Достаточно проверить одно основное неравенство:
(8-d)+8>8+d 16-d>8+d 8>2dimpliesd<4Также необходимо, чтобы все стороны были положительными:
8-d>0impliesd<8Учитывая оба условия, получаем ограничение на разность: 0≤d<4.
В задаче спрашивается про целые значения длин сторон. Поскольку одна сторона уже фиксирована (a=8), остальные стороны 8-d и 8+d будут целыми тогда и только тогда, когда d — целое число или полуцелое число (чтобы сумма/разность дали целые). Однако, если мы хотим, чтобы все три стороны были целыми числами, то d должно быть целым числом (так как 8 — целое, то 8±d целое только при целом d).
Целые значения d, удовлетворяющие условию 0≤d<4, это: 0,1,2,3.
Рассмотрим каждый случай:
- Если d=0, стороны: 8-0,8,8+0⇒8,8,8. Это правильный треугольник.
- Если d=1, стороны: 8-1,8,8+1⇒7,8,9. Проверка: 7+8>9, верно.
- Если d=2, стороны: 8-2,8,8+2⇒6,8,10. Проверка: 6+8>10, верно.
- Если d=3, стороны: 8-3,8,8+3⇒5,8,11. Проверка: 5+8>11, верно.
Проверка:
Для каждого набора проверим периметр и неравенство треугольника:
| d | Стороны | Периметр | Неравенство треуг. |
|---|---|---|---|
| 0 | 8, 8, 8 | 24 | Да |
| 1 | 7, 8, 9 | 24 | Да |
| 2 | 6, 8, 10 | 24 | Да |
| 3 | 5, 8, 11 | 24 | Да |
Все варианты корректны. Можно ли определить хотя бы одну сторону? Да, средняя сторона всегда равна P/3=8.
а) Да, можно определить среднюю сторону, она равна 8 см.
б) Возможные целые тройки сторон: (8; 8; 8), (7; 8; 9), (6; 8; 10), (5; 8; 11).
Ключевая идея: в арифметической прогрессии из трёх членов сумма крайних равна удвоенному среднему. Поэтому периметр 3a позволяет сразу найти средний член. Далее используется неравенство треугольника для ограничения разности прогрессии.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 641 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 641?
Краткий ответ: а) Да, можно определить среднюю сторону, она равна 8 см. б) Возможные целые тройки сторон: (8; 8; 8), (7; 8; 9), (6; 8; 10), (5; 8; 11).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.