ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 643: арифметическая прогрессия
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Верно ли утверждение, что если (a_n) — арифметическая прогрессия, то
а) последовательность a_2; a_4; ...; a_{2n}; ... является арифметической прогрессией
б) последовательность a1-1; a2-1; ...; an-1; ... является арифметической прогрессией
в) последовательность 2a_1; 2a_2; ...; 2a_n; ... является арифметической прогрессией
г) последовательность a21; a22; ...; a2n; ... является арифметической прогрессией?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы проверить, является ли новая последовательность арифметической прогрессией, нужно убедиться, что разность между соседними членами этой новой последовательности постоянна (не зависит от номера члена n). Вспомним определение: (an) — арифметическая прогрессия, значит, an+1-an=d, где d — фиксированное число.
Разбор пунктов:
а) Рассмотрим последовательность bn=a2n. Вычислим разность соседних членов:
bn+1-bn=a2(n+1)-a2n=a2n+2-a2n Так как a2n+2 и a2n стоят через один член в исходной прогрессии, их разность равна двум шагам прогрессии: a2n+2-a2n=(a2n+2-a2n+1)+(a2n+1-a2n)=d+d=2d Разность 2d не зависит от n. Следовательно, утверждение верно .б) Рассмотрим последовательность cn=an-1. Вычислим разность соседних членов:
cn+1-cn=(an+1-1)-(an-1)=an+1-1-an+1=an+1-an=d Разность равна d и не зависит от n. Следовательно, утверждение верно .в) Рассмотрим последовательность kn=2an. Вычислим разность соседних членов:
kn+1-kn=2an+1-2an=2(an+1-an)=2d Разность равна 2d и не зависит от n. Следовательно, утверждение верно .г) Рассмотрим последовательность mn=a2n. Проверим разность для первых двух членов и вторых двух. Пусть a1=1,a2=2,a3=3 (прогрессия с d=1).
- m1=12=1
- m2=22=4
- m3=32=9
Проверка:
В пунктах а), б), в) мы получили константные разности (2d, d, 2d соответственно), что подтверждает статус арифметических прогрессий. В пункте г) контрпример показал, что квадраты членов арифметической прогрессии образуют квадратичную зависимость, а не линейную, поэтому они не являются арифметической прогрессией (за исключением тривиального случая d=0).
а) верно
б) верно
в) верно
г) неверно
Для пункта а) важно показать, что пропуск одного члена удваивает шаг прогрессии. Для пункта г) достаточно привести простой контрпример или общий вывод формулы разности (an+d)2-a2n=2and+d2, которая зависит от n.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 643 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 643?
Краткий ответ: а) верно б) верно в) верно г) неверно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе V.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.