ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 647: арифметическая прогрессия

Для решения обеих задач воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: a_n=a₁+d(n-1) где a₁ — первый член, d — разность прогрессии, n — порядковый номер члена.

а) Первый положительный член прогрессии

Дана последовательность: -101/2;-101/4;-10;…

1. Найдём разность прогрессии d. Для этого вычтем из второго члена первый: d=-101/4-(-101/2)=-10.25+10.5=0.25=1/4. Проверим по третьему члену: -10+1/4=-93/4? Нет, в условии третий член -10. Пересчитаем внимательно.
   a₁=-10.5, a₂=-10.25. Разность d=a₂-a₁=-10.25-(-10.5)=0.25=1/4.
   Тогда a₃=a₂+d=-10.25+0.25=-10. Это совпадает с условием. Значит, d=1/4.
2. Запишем неравенство для первого положительного члена: a_n>0 и a_n-1≤0.
   Подставим формулу: -101/2+1/4(n-1)>0.
3. Решим неравенство:
   1/4(n-1)>101/2
   Умножим обе части на 4:
   n-1>42
   n>43
4. Так как n должно быть целым числом, минимальное подходящее значение — n=44.
   Найдём этот член a₄₄:
   a₄₄=-101/2+1/4(44-1)=-10.5+43/4=-10.5+10.75=0.25=1/4.

Первый положительный член равен 1/4.

б) Первый отрицательный член прогрессии

Дана последовательность: 81/2;81/3;81/6;…

1. Найдём разность прогрессии d.
   a₁=81/2=17/2=51/6.
   a₂=81/3=25/3=50/6.
   a₃=81/6=49/6.
   Разность d=a₂-a₁=50/6-51/6=-1/6.
   Проверка: a₃-a₂=49/6-50/6=-1/6. Верно.
2. Нас интересует первый отрицательный член, то есть такой a_n, что a_n<0, а предыдущий a_n-1≥0.
   Запишем неравенство:
   81/2-1/6(n-1)<0.
3. Решим неравенство:
   81/2<1/6(n-1)
   Умножим обе части на 6:
   6·8.5<n-1
   51<n-1
   n>52
4. Минимальное целое n, удовлетворяющее условию, это n=53.
   Найдём член a₅₃:
   a₅₃=81/2-1/6(53-1)=8.5-52/6=17/2-26/3.
   Приведём к общему знаменателю 6:
   a₅₃=51/6-52/6=-1/6.

Первый отрицательный член равен -1/6.