9 класс арифметическая прогрессия Глава V. Арифметическая и геометрическая прогрессии

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 649: арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Сергей Мишин, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 648 650 →

Условие

Доказать формулу разности арифметической прогрессии через два её члена: d = (x_m-x_n)/(m-n), где m≠n.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства:

Чтобы вывести формулу разности арифметической прогрессии d через два произвольных члена x_m и x_n, воспользуемся общей формулой n-го члена арифметической прогрессии. Запишем выражения для членов с номерами m и n, выразим из них разность d и приравняем полученные значения.

Ход решения:

Вспомним формулу общего члена арифметической прогрессии: x_k=x₁+(k-1)d, где x₁ — первый член, d — разность прогрессии, k — номер члена.
Запишем эту формулу для члена с номером m: x_m=x₁+(m-1)d.
Запишем эту же формулу для члена с номером n: x_n=x₁+(n-1)d.
Выразим разность d из первого уравнения (x_m): x_m-x₁=(m-1)dimpliesd=x_m-x₁/m-1.
Выразим разность d из второго уравнения (x_n): x_n-x₁=(n-1)dimpliesd=x_n-x₁/n-1.
Так как оба выражения равны одной и той же величине d, можно составить равенство между ними, но более простой путь — вычесть одно исходное уравнение из другого. Вычтем из уравнения для x_m уравнение для x_n: x_m-x_n=[x₁+(m-1)d]-[x₁+(n-1)d].
Раскроем скобки и упростим правую часть: x_m-x_n=x₁+md-d-x₁-nd+d. Слагаемые x₁ и -x₁ сокращаются, так же как -d и +d. Остается: x_m-x_n=md-nd.
Вынесем общий множитель d за скобки в правой части: x_m-x_n=d(m-n).
По условию задачи m≠n, следовательно, m-n≠0. Разделим обе части равенства на (m-n), чтобы выразить d: d=x_m-x_n/m-n.

Проверка:

Формула логична: если мы знаем два любых члена прогрессии и их номера, то разность между этими членами делится на количество шагов (разницу номеров) между ними. Это соответствует определению арифметической прогрессии, где каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину d. Доказательство завершено.

Ответ

Доказано: d=x_m-x_n/m-n

Использован метод вычитания уравнений общего члена. Важно подчеркнуть условие m≠n, которое позволяет делить на знаменатель.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 649 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 649?

Краткий ответ: Доказано: d = x_m - x_nm - n.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава V. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.