ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 651: арифметическая прогрессия

Для решения задачи определим тип прогрессии в каждом пункте. Если разность между соседними членами постоянна, это арифметическая прогрессия. Если частное от деления последующего члена на предыдущий постоянно, это геометрическая прогрессия.

Пункт а)

Даны первые два члена: a₁=2/3 и a₂=3/4.

Проверим, является ли прогрессия арифметической или геометрической.

• Разность: d=a₂-a₁=3/4-2/3=9-8/12=1/12.
• Частное: q=a₂/a₁=3/4/2/3=3/4·3/2=9/8.

В условии не сказано явно, какая это прогрессия, но обычно такие задания подразумевают проверку обоих случаев или контекст главы. Однако, посмотрев на ключ (105/12), давайте проверим сумму для арифметической прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Подставим значения n=10, a₁=2/3, d=1/12:

Упростим выражение в скобках. Заметим, что 9/12=3/4.

Теперь вычислим итоговую сумму:

Выделим целую часть из неправильной дроби:

Результат совпадает с ориентировочным ключом. Следовательно, в пункте а) речь шла об арифметической прогрессии.

Пункт б)

Даны первые два члена: b₁=3 и b₂=12.

Проверим признаки прогрессий.

• Разность: d=12-3 (не является "красивым" числом для стандартных школьных задач такого типа).
• Частное: q=b₂/b₁=12/3=123/3=43.

Судя по ключу (553), здесь также может быть арифметическая прогрессия? Давайте проверим арифметическую:

Это не похоже на ответ 553. Попробуем геометрическую прогрессию.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Здесь q=43. Вычисление q¹⁰ будет очень громоздким и точно не даст простой формы 553.

Давайте пересмотрим условие. Возможно, я неправильно интерпретировал числа или тип прогрессии. Посмотрим на ответ 553. Это сумма вида k·3. В арифметической прогрессии сумма равна n/2(2a₁+(n-1)d). Если a₁=3, то чтобы получить множитель 11/2 перед чем-то... 553=1103/2. Тогда 2a₁+9d=1103/10? Нет, S₁₀=5(2a₁+9d). Если S₁₀=553, то 2a₁+9d=113. При a₁=3, имеем 23+9d=113⇒9d=93⇒d=3.

Если d=3, то второй член должен быть a₂=a₁+d=3+3=23.

Но в условии сказано, что второй член равен 12. 23≈3.46≠12. Здесь есть противоречие между стандартными числами и ключом, если считать это арифметической прогрессией.

А что если это геометрическая прогрессия, где b₁=3, а b₂ такое, что сумма получается красивой? Или, возможно, в условии опечатка и второй член — это 23? Но мы должны решать строго по условию: b₂=12.

Давайте еще раз внимательно посмотрим на пункт б). Может быть, это арифметическая прогрессия, но я ошибся в вычислениях выше?

a₁=3,a₂=12. d=12-3.

Этот ответ математически верен для данных условий (арифметическая прогрессия). Он не совпадает с ключом 553.

Попробуем геометрическую прогрессию с b₁=3,b₂=12. q=43.

(43)¹⁰=4¹⁰·3⁵=1048576·243 — огромное число. Ответ точно не 553.

Вероятно, в учебнике под номером 651 пункт б) содержит другие числа, либо ключ относится к другой задаче, либо в условии опечатка (например, второй член 23 вместо 12, или первый член 12 и второй 3?).

Однако, согласно правилам, я должен решить задачу строго по данному условию. Если данные условия приводят к результату, отличному от ключа, я обязан указать свой результат.

Но давайте предположим, что это всё-таки арифметическая прогрессия, так как в пункте а) она была арифметической, и часто в таких парах они одного типа. Для пункта а) мы подтвердили арифметическую природу через ключ. Для пункта б) ключ 553 идеально подходит для арифметической прогрессии с a₁=3 и d=3 (где a₂=23). Число 12 в условии выглядит как сильное искажение (возможно, OCR ошибка или опечатка в источнике, где было 23, а стало 12? Или a₁=12,a₂=3? Нет, тогда сумма другая).

Так как инструкция гласит: «ключ из раздела «Ответы» — ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой», я приведу решение для арифметической прогрессии с данными a₁=3 и a₂=12, так как это наиболее вероятный тип задачи в этом контексте (сумма первых членов), хотя и отмечу несоответствие.

Решение для пункта б) (как арифметической прогрессии):

Если же рассматривать возможность того, что это геометрическая прогрессия, ответ будет крайне сложным выражением, что маловероятно для школьного курса 9 класса без калькулятора.

Примечание: Ключ 553 соответствует арифметической прогрессии с a₁=3 и a₂=23. Вероятно, в исходном тексте учебника во втором члене стояло 23, а не 12. Но мы решаем по тексту условия.