ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 653: арифметическая прогрессия

План решения:

1. Понять геометрическую модель задачи: параллельные отрезки внутри угла образуют арифметическую прогрессию. 2. Определить параметры прогрессии: количество членов и первый член. 3. Найти разность прогрессии или последний член, используя свойства подобных треугольников. 4. Вычислить сумму всех членов прогрессии по формуле.

Вычисление:

Рассмотрим угол с вершиной O. На одной стороне отложены 12 равных отрезков. Пусть длина каждого такого отрезка равна x. Тогда расстояния от вершины до концов этих отрезков составляют x,2x,3x,…,12x.

Через концы этих отрезков проведены прямые, параллельные другой стороне угла. Эти прямые отсекают на первой стороне отрезки, которые являются основаниями прямоугольных (или произвольных) треугольников, подобных исходному большому треугольнику, образованному сторонами угла и последней параллельной линией.

Так как все проведенные отрезки параллельны друг другу и опираются на одну сторону угла, их длины пропорциональны расстояниям от вершины угла до точек пересечения. Это означает, что длины параллельных отрезков образуют арифметическую прогрессию .

Обозначим длины параллельных отрезков как a_1,a_2,…,a₁₂.

По условию, наименьший отрезок имеет длину 3 см. Так как отрезки расположены последовательно от вершины, то a₁=3 см.

Так как отрезки на стороне угла равны, то приращения длин параллельных отрезков также постоянны. То есть разность арифметической прогрессии d постоянна.

Нам нужно найти сумму S₁₂. Для этого воспользуемся свойством арифметической прогрессии или найдем последний член a₁₂.

Заметим, что если бы мы продолжили линию до вершины угла, то «нулевой» отрезок имел бы длину 0. Однако у нас есть конкретный первый отрезок a₁=3. Поскольку отрезки на стороне равны, то каждый следующий параллельный отрезок длиннее предыдущего на одну и ту же величину d. При этом a₁ соответствует первому делению. Если представить себе подобие треугольников, то отношение длин параллельных отрезков равно отношению их расстояний от вершины.

Пусть расстояние от вершины до первого конца равно h. Тогда расстояние до второго конца 2h, до третьего 3h и т.д., до двенадцатого 12h. Длина отрезка пропорциональна расстоянию от вершины: L=k·h_i, где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от угла. Для первого отрезка: a₁=k·h=3. Для последнего (12-го) отрезка: a₁₂=k·12h=12·(kh)=12·a₁.

Следовательно, a₁₂=12·3=36 см.

Теперь найдем сумму 12 членов арифметической прогрессии, зная первый и последний члены:

Проверка:

Разность прогрессии d: так как a₁₂=a₁+11d, то 36=3+11d⇒11d=33⇒d=3. Члены прогрессии: 3, 6, 9, ..., 36. Это действительно арифметическая прогрессия с шагом 3. Сумма: 12/2(3+36)=6·39=234. Расчет верен.