9 класс арифметическая прогрессия Глава V. Арифметическая и геометрическая прогрессии

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 654: арифметическая прогрессия

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Дмитрий Орлов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 653 655 →

Условие

Решить задачи на арифметическую прогрессию по заданным параметрам

а) найти a_1 и S_n при d=-0,4, n=12, a_n=2,4

б) найти n и a_n при a₁=-35, d=5, S_n=250

в) найти a_1 и n при d=1/2, a_n=50, S_n=2525

г) найти d и n при a₁=-1/2, a_n=-29 1/2, S_n=-450.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В задачах на арифметическую прогрессию мы будем использовать две основные формулы:

Формула n-го члена: a_n=a₁+d(n-1)
Формула суммы первых n членов: S_n=a₁+a_n/2·n или S_n=2a₁+d(n-1)/2·n

а) Найти a₁ и S_n, если d=-0,4, n=12, a_n=2,4.

Сначала найдем первый член прогрессии a₁. Подставим известные значения в формулу n-го члена:

2,4=a₁+(-0,4)(12-1) 2,4=a₁-0,4·11 2,4=a₁-4,4 a₁=2,4+4,4=6,8

Теперь найдем сумму S₁₂, используя формулу через крайние члены:

S₁₂=a₁+a₁₂/2·12=6,8+2,4/2·12=9,2/2·12=4,6·12=55,2

Ответ: a₁=6,8; S_n=55,2.

б) Найти n и a_n, если a₁=-35, d=5, S_n=250.

Подставим данные в формулу суммы, содержащую n:

250=2(-35)+5(n-1)/2·n 500=(-70+5n-5)n 500=(5n-75)n 500=5n²-75n Разделим уравнение на 5: 100=n²-15n n²-15n-100=0

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни равны n₁=20 и n₂=-5. Так как количество членов прогрессии должно быть натуральным числом, то n=20.

Найдем последний член a₂₀:

a₂₀=a₁+d(20-1)=-35+5·19=-35+95=60

Ответ: n=20; a_n=60.

в) Найти a₁ и n, если d=1/2, a_n=50, S_n=2525.

Используем формулу суммы через крайние члены, чтобы выразить связь между a₁ и n:

2525=a₁+50/2·n ⇒ a₁+50=5050/n ⇒ a₁=5050/n-50

Также используем формулу n-го члена:

50=a₁+1/2(n-1) ⇒ a₁=50-n-1/2

Приравняем выражения для a₁:

5050/n-50=50-n-1/2 5050/n+n-1/2=100

Умножим обе части на 2n:

10100+n(n-1)=200n n²-n+10100=200n n²-201n+10100=0

Дискриминант: D=201²-4·10100=40401-40400=1.
Корни: n₁=201+1/2=101, n₂=201-1/2=100.

Проверим оба случая:

Если n=100: a₁=50-99/2=50-49,5=0,5.
Если n=101: a₁=50-100/2=50-50=0.

Оба варианта корректны с точки зрения определения арифметической прогрессии.

Ответ: a₁=0,5,n=100 или a₁=0,n=101.

г) Найти d и n, если a₁=-1/2, a_n=-291/2, S_n=-450.

Переведем смешанные числа в десятичные дроби для удобства: a₁=-0,5, a_n=-29,5.

Найдем n из формулы суммы:

-450=-0,5+(-29,5)/2·n -450=-30/2·n -450=-15n n=-450/-15=30

Теперь найдем разность d из формулы n-го члена:

a₃₀=a₁+d(30-1) -29,5=-0,5+29d 29d=-29,5+0,5 29d=-29 d=-1

Ответ: d=-1; n=30.

Ответ

а) a₁=6,8; S_n=55,2

б) n=20; a_n=60

в) a₁=0,5,n=100 или a₁=0,n=101

г) d=-1; n=30

Задача требует применения базовых формул арифметической прогрессии. В пункте в) получается два решения, так как система уравнений относительно a₁ и n сводится к квадратному уравнению с двумя положительными целыми корнями. В остальных пунктах решения единственные.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 654 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 654?

Краткий ответ: а) a_1 = 6,8; S_n = 55,2 б) n = 20; a_n = 60 в) a_1 = 0,5, n = 100 или a_1 = 0, n = 101 г) d = -1; n = 30.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Глава V. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.